Question

Chứng minh rằng: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)với a,b\(\in\)N*

Answer 1

Giả sử \(a\ge b\) suy ra a = b +m (m \(\ge\) 0)

Ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{b+m}{b}+\frac{b}{b+m}\)

\(=\frac{b}{b}+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}\)

Vì \(m,b\ge0\) nên \(\frac{m}{b}\ge\frac{m}{b+m}\)

Do đó \(1+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}\ge1+\frac{m}{b+m}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m+b}{b+m}=1+1=2\)

Vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) (dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\) m = 0 \(\Leftrightarrow\) a =b)

Answer 2

Đợi vài năm nữa tha hồ dùng cô si nhá

Answer 3

Áp dụng bđt AM - GM ta có :

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\sqrt{1}=2\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b\)