Question

Chứng minh rằng: \(\frac{7n-1}{4};\frac{5n+3}{12}\) không thể đồng thời là số tự nhiên với mọi số nguyên dương n.

Answer 1

Lời giải:

Giả sử 2 phân số trên có thể đồng thời là số tự nhiên.

Ta có:
$\frac{7n-1}{4}$ là số tự nhiên

$\Rightarrow 7n-1\vdots 4$
$\Rightarrow 7n-1-8n\vdots 4$

$\Rightarrow -n-1\vdots 4\Rightarrow n+1\vdots 4$

$\Rightarrow n=4t-1$ với $t$ tự nhiên.

Khi đó:
$\frac{5n+3}{12}=\frac{5(4t-1)+3}{12}=\frac{20t-2}{12}$
$=\frac{10t-1}{6}$

Vì $10t-1$ lẻ với mọi $t$ tự nhiên nên $10t-1\not\vdots 2$

$\Rightarrow 10t-1\not\vdots 6$

$\Rightarrow \frac{5n+3}{12}$ không là số tự nhiên (trái với giả sử)

Vậy không thể tồn tại stn $n$ để 2 phân số trên đều là số tự nhiên.