Xét 24 số: 3 ; 33 ; 333 ; ...... ; 3333...333333
24 chữ số 3
Có 24 số mà chỉ có 23 trường hợp về số dư trong phép chia hcho 13 nên theo nguyên lý Đi rích lê thì có ít nhất 2 số có cùng số dư trong phép chia cho 23.
Gọi 2 số đó là 3333......3333 và 3333.....3333 (giả sử 1≤m < n ≤14)
m chữ số 3 n chữ số 3
$\Rightarrow$⇒333333.......333 - 33333....333 chia hết cho 13 => 33333.......33333 00000...00000 chia hết
n chữ số 3 m chữ số 3 n - m chữ số 3 m chữ số
cho 13 => 33333.....33333 . 10m chia hết cho 23
n - m chữ số 3
Mà (10m , 23) = 1 => 3333.....33333 chia hết cho 23
n - m chữ số 3
Mà 33333......33333 thuộc dãy đã cho.
n - m chữ số 3
Vậy có một số tự nhiên chia hết cho 23 mà số đó được viết toàn bộ bằng chữ số 3.
