Question

chứng minh rằng căn bậc hai của 5 là số vô tỉ

Answer 1

Giả sử rằng  là một số hữu tỉ. Điều đó có nghĩa là tồn tại hai số nguyên a và b sao cho a /b = .Như vậy  có thể được viết dưới dạng một phân số tối giản (phân số không thể rút gọnđược nữa): a / b với a, b là hai số nguyên tố cùng nhau và (a / b)² = 2.Từ (2) suy ra a² / b² = 2 và a² = 2 b².Khi đó a² là số chẵn vì nó bằng 2 b² (hiển nhiên là số chẵn)Từ đó suy ra a phải là số chẵn vì a² là số chính phương chẵn (số chính phương lẻ có căn bậc hai là số lẻ, số chính phương chẵn có căn bậc hai là số chẵn).Vì a là số chẵn, nên tồn tại một số k thỏa mãn: a = 2k.Thay (6) vào (3) ta có: (2k)² = 2b²  4k² = 2b²  2k² = b².Vì 2k² = b² mà 2k² là số chẵn nên b² là số chẵn, điều này suy ra b cũng là số chẵn (lí luận tương tự như (5).Từ (5) và (8) ta có: a và b đều là các số chẵn, điều này mâu thuẫn với giả thiết a / b là phân số tối giản ở (2).

Từ mâu thuẫn trên suy ra: thừa nhận  là một số hữu tỉ là sai và phải kết luận  là số vô tỉ.

Cách chứng minh trên có thể được tổng quát hóa để chứng rằng: "căn bậc hai của một số tự nhiên bất kì hoặc là một số nguyên hoặc là một số vô tỉ."

Answer 2

Giả sử rằng  là một số hữu tỉ. Điều đó có nghĩa là tồn tại hai số nguyên a và b sao cho a /b = .Như vậy  có thể được viết dưới dạng một phân số tối giản (phân số không thể rút gọnđược nữa): a / b với a, b là hai số nguyên tố cùng nhau và (a / b)² = 2.Từ (2) suy ra a² / b² = 2 và a² = 2 b².Khi đó a² là số chẵn vì nó bằng 2 b² (hiển nhiên là số chẵn)Từ đó suy ra a phải là số chẵn vì a² là số chính phương chẵn (số chính phương lẻ có căn bậc hai là số lẻ, số chính phương chẵn có căn bậc hai là số chẵn).Vì a là số chẵn, nên tồn tại một số k thỏa mãn: a = 2k.Thay (6) vào (3) ta có: (2k)² = 2b²  4k² = 2b²  2k² = b².Vì 2k² = b² mà 2k² là số chẵn nên b² là số chẵn, điều này suy ra b cũng là số chẵn (lí luận tương tự như (5).Từ (5) và (8) ta có: a và b đều là các số chẵn, điều này mâu thuẫn với giả thiết a / b là phân số tối giản ở (2).

Từ mâu thuẫn trên suy ra: thừa nhận  là một số hữu tỉ là sai và phải kết luận  là số vô tỉ.

Cách chứng minh trên có thể được tổng quát hóa để chứng rằng: "căn bậc hai của một số tự nhiên bất kì hoặc là một số nguyên hoặc là một số vô tỉ."

tích mik nha

Answer 3

Cho tam giác ABC vuông tại A,đường cao AH.Gọi E,F lần lượt là trung điểm AHvà BH,CE cắt AF tại I. Chứng minh AF vuông góc với CE

Answer 4

giả sử √5 là số hữu tỉ 
=> √5 = a/b (a,b ∈ Z ; b ≠ 0) 
không mất tính tổng quát giả sử (a;b) = 1 
=> 5 = a²/b² 
<=> a² = 5b² 
=> a² ⋮ 5 
5 nguyên tố 
=> a ⋮ 5 
=> a² ⋮ 25 
=> 5b² ⋮ 25 
=> b² ⋮ 5 
=> b ⋮ 5 
=> (a;b) ≠ 1 (trái với giả sử) 
=> giả sử sai 
=> √5 là số vô tỉ

Answer 5

Giả sử căn bậc hai của 5 là số hữu tỉ

Suy ra: căn bậc hai của 3 = p/q (ƯCLN(p,q)=1)

Suy ra: căn bậc hai của 3 p=q

Suy ra: (căn bậc hai của 3p)^2=q^2

3p^2=q^2. Suy ra: q^2 chia hết cho 3.

Suy ra: q chia hết cho 3  (1)

Đặt q=3k. Suy ra: 3p^2=(3k)^2

                  3p^2=9k^2

p^2=3k^2. Suy ra: p^2 chia hết cho 3

Suy ra: p chia hết cho 3   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: UWCLN(p,q)=3

Mâu thuẫn với ƯCLN(p,q)=1

Suy ra p/q không tồn tại

           

Answer 6

Giả sử \(\sqrt{5}\)là số hữu tỉ thì \(\sqrt{5}=\frac{k_1}{k_2}\)với \(k_1,k_2\inℤ\)và \(\left(k_1;k_2\right)=1\)

\(\Rightarrow k_1=\sqrt{5}k_2\)

\(\Rightarrow k_1^2=5k_2^2\)(1)

\(\Rightarrow k_1^2⋮5\Rightarrow k_1⋮5\)(vì 5 là số nguyên tố)

Đặt \(k_1=5k_3\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left(5k_3\right)^2=5k_2^2\)

\(\Rightarrow25k_3^2=5k_2^2\Rightarrow5k_3^2=k_2^2\)

\(\Rightarrow k_2^2⋮5\Rightarrow k_2⋮5\)(vì 5 là số nguyên tố)

Lúc đó thì \(\left(k_1;k_2\right)\ne1\)(vì \(k_1;k_2\)cùng chia hết cho 5)

Vậy điều giả sử là sai hay \(\sqrt{5}\)là số vô tỉ (đpcm)