Question

chứng minh rằng các phân số sau tối giản vs mọi số tự nhiên n:

\(\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\)

Answer 1

Gọi d là ước chung của n^3 + 2n và n^4 + 3n^2 + 1. Ta có:

       n^3 + 2n chia hết cho d =>  n(n^3 + 2n) chia hết cho d =>   n^4 + 2n^2 chia hết cho d (1)

       n^4 + 3n^2 + 1 -(n^4 + 2n^2) = n^2 + 1 chia hết cho d  => (n^2 + 1)^2  =  n^4 + 2n^2 + 1 chia hết cho d  (2)

 Từ (1) và (2) suy ra :     

                                               (n^4 + 2n^2 + 1)- (n^4 + 2n^2) chia hết cho d  =>  1 chia hết cho d => d=+-1

   Vậy phân số trên tối giản vì mẫu và tử có ước chung là +-1

Answer 2

Phân số trên sẽ tối giản vì không có bất kì các số nào có thể rút gọn với nhau . 

Nếu như có thể thì khi ta cộng lại cũng không thể , vì đang rút được ta cộng một vào bất kì ( mẫu / tử ) đều khiến phép tính không thể rút gọn tiếp được nữa . 

Vậy không thể rút gọn và phân số này đã tối giản