Question

Chứng minh rằng a⁵b-ab⁵ chia hết cho 30 với a,b là 2 số nguyên bất kì

Answer 1

Phân tích thành nhân tử:

a⁵b-ab⁵=a⁵b-ab-ab²+ab=ab(a⁴-1)-ab(b²-1)=ab(a²-1)(a²+1)-ab(b²-1)(b²+1)=ab(a-1)(a+1)(a²+1)-ab(b-1)(b+1)(b²+1)=ab(a-1)(a+1)(a²-4+5)-ab(b-1)(b+1)(b²-4+5)=ab(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5ab(a-1)(a+1)-ab(b-1)(b+1)(b-2)(b+2)-5ab(b-1)(b+1)

Ta Thấy:(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) là 5 số TN liên tiếp

=>(a-2)(a-1)ab(a+1)(a+2)chia hết cho 30(trong 5 số TN liên tiếp có 1 số chia hết cho 2 cho 3 cho 5)

TT=>a(a+1)(a-1) chia hết cho 6=>5ab(a-1)(a+1)chia hết cho 30

cmtt =>đpcm

Answer 2

tại sao bên kia là ab^5 mà bên này lại ab^2

Answer 3

Đặt \(A=a^5b-ab^5=a\left(a^44b-b^5\right)=a\left[b\left(a^4-b^4\right)\right]=ab...\) chia hết cho 2. (1) 

+) Nếu a,b đồng dư khi chia cho 3 thì a-b chia hết cho 3 suy ra A chia hết cho 3. (2) 

+) Nếu a,b không đồng dư khi chia cho 3 thì \(a+b\) chia hết cho 3 suy ra A hết cho 3. (3) 

Từ (2) và (3) suy ra A luôn chia hết cho 3. (4) 

Mà \(ab\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\) chia hết cho 5.  (5) 

Từ (1); (4) và (5) suy ra A chia hết cho 2; 3; 5.

Vậy A chia hết cho 30.