Question

Chứng minh rằng : A=2+2^2+2^3+2^4+...+2^2010chia hết cho 3 và 7

Answer 1

A = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ +....+2²⁰¹⁰

A =(2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶) +...+...( 2²⁰⁰⁵+....+2²⁰⁰⁹+2²⁰¹⁰)

A =  2.( 1+2+2²+2³+2⁴+2⁵)+...+2²⁰⁰⁵.(1+2+2²+2³+2⁴+2⁵)

A = 2.63 +....+ 2²⁰⁰⁵.63

A = 63.( 2 +....+2²⁰⁰⁵)

A = 3.7.3.(2+...+2²⁰⁰⁵) 

Vì 3 ⋮3; 7⋮ 7 ⇒ A = 3.7.3.(2+...+2²⁰⁰⁵) ⋮3 và 7 

Hay A = 2 + 2²+2³+....+2²⁰¹⁰ ⋮ 3 và 7 (đpcm)

Answer 2

A = 2 + 22 + 23 + 24 +....+22010

A =(2+22+23+24+25+26) +...+...( 22005+....+22009+22010)

A =  2.( 1+2+22+23+24+25)+...+22005.(1+2+22+23+24+25)

A = 2.63 +....+ 22005.63

A = 63.( 2 +....+22005)

A = 3.7.3.(2+...+22005) 

Vì 3 ⋮3; 7⋮ 7 ⇒ A = 3.7.3.(2+...+22005) ⋮3 và 7 

Hay A = 2 + 22+23+....+22010 ⋮ 3 và 7 (đpcm)

Answer 3

A=(2+2^2)+(2^3+2^4)+...+(2^2009+2^2010)

=2.(1+2)+2^3.(1+2)+...+2^2009.(1+2)

=3.2+3.2^3+...+3.2^2009

=3.(2+2^3+...+2^2009)chia hết cho 3 (vì 3 chia hết cho 3)

A=(2+2^2+2^3)+(2^4+2^5+2^6)+...+(2^2008+2^2009+2^2010)

=2.(1+2+2^2)+2^4.(1+2+2^2)+...+2^2008.(1+2+2^2)

=7.2+7.2^4+...+7.2^2008 

=7.(2+2^4+...+2^2008)chia hết cho 7 ( vì 7 chia hết cho 7)