\(A=x^4+4x^2+4-x^2\)
\(=\left(x^2+2\right)^2-x^2=\left(x^2-x+2\right)\left(x^2+x+2\right)\)
Do \(x\in Z\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-x\ge0\\x^2+x\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-x+2\ge2\\x^2-x+2\ge2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow A\) có ít nhất 2 ước lớn hơn 1 nên A là hợp số
Chứng minh rằng:\(x^{200}+x^{100}+1⋮x^4+x^2+1\) với mọi x thuộc Z
Tìm các hệ số a,b,c bt rằng :
a, -3xk ( ax2 + bx + c ) = 3xk+2 - 12xk+1 + 3xk ( với mọi x )
b, ( z2 - z + 1 ) (az2 + bz + c ) = 2z4 - z3 + 2z2 + 1 với mọi x
13 : a) Chứng minh rằng( 3x+2)62-49 chia hết cho 3 với mọi sô nguyên n
b) Chứng minh rằng x(4x-1)^2-81x chia hết cho 8 với mọi sô nguyên n
14 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x^2+3x+2 ; b) x^2+x+6 ; c) x^2-5x+6 ; d) x^2+5x-6
e) x^2+4x+3 ; f) x^2-5x+4
Bài 6: Chứng minh rằng:
a)x2-x+1>0 với mọi số thực x
b)-x2+2x-4<0 với mọi số thực x
Bài 4: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. I, K lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: AM vuông góc với IK
Bài 5: Hình thang vuông ABCD, góc A= góc B= 90 độ, AB= AD= CD/2. E thuộc AB; EF vuông góc với DE ( F thuộc DC ). Chứng minh rằng: ED= EF
Bài 1:
1) Tính nhanh:
d) D= 100^2+ 103^2+ 105^2+ 94^2- ( 101^2+ 98^2+ 96^2+ 107^2 )
2)Rút gọn và tính giá trị của biểu thức:
b) (x-2)^3-(x-2)(x^2+2x+4)+6(x-2)(x+2)-x(x-1) tại x= 101
c) (x+1)^3-(x+3)(x^2-3x+9)+3(2x-1)^2 tại x= -2
Bài 11: Xác định đa thức f(x) biết f(x) chia hết cho (x-2) dư 5, f(x) chia cho (x-3) dư 7, f(x) chia cho (x-3)(x-2) được thương x^2-1 và có dư
Bài 12: Tìm x tự nhiên sao cho:
a) Giá trị biểu thức x^3+2x-x^2+7 chia hết cho giá trị biểu thức (x^2+1)
b) Giá trị đa thức ( 2x^4-3x^3-x^2+5x-4) chia hết cho giá trị đa thức (x-3)
Bài 13: Tìm x thuộc Z để giá trị biểu thức 8x^2-4x+1 chia hết cho giá trị biểu thức 2x+1
Bài 14: Chứng minh rằng:
a) a^3-a chia hết cho 24a với a là số nguyên tố lớn hơn 3
b) n(2n+1)(7n+1) chia hết cho 6 với mọi n thuộc Z
c) n^3-13n chia hết cho 6 với mọi n thuộc Z
d) a^5-a chia hết cho 30 với mọi a thuộc Z
Cho P=(x^2+5)/(x^3-3x-2) và Q=a/(x-2)+b/(x^2+2x+1)
Biết P=Q với mọi x khác 2 và -1. Chứng minh rằng a^2-b^3 là số chính phương
với mọi x;y;z . chứng minh rằng x2 + y2 + z2 ≥ xy = yz + zx
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên m, n thì :
\(x^{6m+4}+x^{6n+2}+1\) chia hết cho \(x^4+x^2+1\)
a) CMR: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right).\left(x+y+z\right)>=9\) với mọi x, y, z >0
b) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z <= 3
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2009}{xy+yz+zx}>=670\)