Question

Cho P=(x^2+5)/(x^3-3x-2) và Q=a/(x-2)+b/(x^2+2x+1)

Biết P=Q với mọi x khác 2 và -1. Chứng minh rằng a^2-b^3 là số chính phương

Answer 1

Lời giải:

Ta có: \(P=\frac{x^2+5}{x^3-3x-2}=\frac{x^2+5}{x^2(x-2)+2x(x-2)+(x-2)}\)

\(=\frac{x^2+5}{(x-2)(x^2+2x+1)}=\frac{x^2+2x+1-(2x-4)}{(x-2)(x^2+2x+1)}\)

\(=\frac{(x^2+2x+1)-2(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+1)}=\frac{1}{x-2}-\frac{2}{x^2+2x+1}\)

Có \(P=Q\forall x\neq \left\{-1;2\right\}\Leftrightarrow \frac{1}{x-2}-\frac{2}{x^2+2x+1}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x^2+2x+1}\) với mọi \(x\neq \left\{-1;2\right\}\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2-b^3=1^2-(-2)^3=9=3^2\) là một số chính phương

Do đó ta có đpcm.