Question

chứng minh rằng \(5^{n+3}-3^{n+3}+5^{n+2}-3^{n+1}⋮60\)   với mọi n thuộc N

Answer 1

5ⁿ⁺³-3ⁿ⁺³+5ⁿ⁺²-3ⁿ⁺¹=5ⁿ.125+5ⁿ.25-(3ⁿ.27+3ⁿ.3)

                                 =5ⁿ.150-3ⁿ.30

                                =(5ⁿ⁺¹-3ⁿ).30

mà 5\(\equiv\)3 (mod 2) =>5ⁿ⁺¹\(\equiv\)3(mod 2)

      3\(\equiv\)1(mod 2)

nên 5ⁿ⁺¹-3ⁿ chia hết cho 2

nên (5ⁿ⁺¹-3ⁿ).30 chia hét cho 60

Vậy...

Answer 2

Ta có: \(5^{n+3}-3^{n+3}+5^{n+2}-3^{n+1}\)

\(=5^n.5^3-3^n.3^3+5^n.5^2-3^n.3\)

\(=5^n\left(5^3+5^2\right)-3^n\left(3^3+3\right)\)

\(=5^n.150-3^n.30\) 

\(=30\left(5^n.5-3^n\right)\)

Ta có: với mọi n thuộc n thì \(5^n.5;3^n\)là hai số lẻ

=>  \(5^n.5-3^n⋮2\)

=> \(5^{n+3}-3^{n+3}+5^{n+2}-3^{n+1}\)\(=30\left(5^n.5-3^n\right)⋮30.2\)

=> \(5^{n+3}-3^{n+3}+5^{n+2}-3^{n+1}⋮60\) với mọi số tự nhiên n.