Question

Chứng minh rằng 4n².(n+2)+4n.(n+2) luôn chia hết cho 24 với mọi số nguyên n

Answer 1

4n²(n+2)+4n(n+2)

=4n(n+2)(n+1)

Ta có: 24=2.3.4 và ƯCLN(2,3,4)=1 nên ta chứng minh 4n(n+2)(n+1) chia hết cho 2,3 và 4

n chia cho 2 sẽ có 2 dạng là 2k và 2k+1 (k\(\in\)Z)

+) Với n = 2k thì \(n⋮2\)=> 4n(n+1)(n+2)\(⋮2\)(1)

+) Với n = 2k+1 thì n+1=2k+2

Vì 2k+2\(⋮2\)nên 4n(n+1)(n+2)\(⋮2\)(2)

Từ (1) và (2) => 4n(n+1)(n+2)\(⋮\)2 với mọi n\(\in Z\)

n chia cho 3 có 3 dạng là: 3m+1, 3m+2 và 3m

+) Với n = 3m thì n\(⋮\)3 => 4n(n+1)(n+2)​\(⋮\)3 (3)​

+) với n = 3m+1 thì n+2=3m+1+2=3m+3

Vì 3m+3​\(⋮3\) nên 4n(n+1)(n+2)​\(⋮3\)(4)

+) Với n = 3m+2 thì n+1=3m+2+1=3m+3

Vì 3m+3​\(⋮3\)nên 4n(n+1)(n+2)​\(⋮3\)(5)

Từ (3)(4)(5) => 4n(n+1)(n+2)\(⋮3\)với mọi \(n\in Z\)

Vì 4\(⋮\)4 nên 4n(n+1)(n+2)\(⋮4\)

Ta có: 4n(n+1)(n+2) chia hết cho 2,3,4

=> 4n(n+1)(n+2) \(⋮24\)với mọi \(n\in Z\)

Vậy 4n²(n+2)+4n(n+2)\(⋮24\)với mọi\(n\in Z\)