Ta có:
\(3^{4n+1}=3.81^n\text{≡}3\left(mod10\right)\)
\(\Rightarrow3^{4n+1}=10k+3\)
\(\Rightarrow2^{3^{4n+1}}=2^{10k+3}=8.1024^k\text{≡}8\left(mod11\right)\left(1\right)\)
Ta lại có:
\(2^{4n+1}=2.16^n\text{≡}2\left(mod5\right)\)
\(\Rightarrow2^{4n+1}=5a+2\)
\(\Rightarrow3^{2^{4n+1}}=3^{5a+2}=9.243^a\text{≡}9\left(mod11\right)\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5\text{≡}9+8+5\text{≡}22\text{≡}0\left(mod11\right)\)
nếu có đk n tự nhiên thì hình như dùng đồng dư + 1 chút fermat
bổ sung:n là số tự nhiên
ta có:
24n+1=16n.2
ta có:16 đồng dư với 1(mod 5)
2 đồng dư với 2(mod 5)
=>16n.2 đồng dư với 2(mod 5)
=>24n+1=5k+2(k chia hết cho 2)
34n+1=81n.3
81 đồng dư với 1(mod 5)
3 đồng dư với 3(mod 5)
=>34n+1 đồng dư với 3(mod 5)
=>34n+1=5q+3
\(\Rightarrow2^{3^{4n+1}}+3^{2^{4n+1}}+5=2^{5p+3}+3^{5q+2}+5=32^p.8+243^q.9+5\)
ta có:
32 đồng dư với -1(mod 11)
243 đồng dư với 2(mod 11)
8 đồng dư với -3(mod 11)
9 đồng dư với 9(mod 11)
5 đồng dư với 5(mod 11)
=>32k.8 đồng dư với -3(mod 11)
243q.9 đồng dư với 9(mod 11)
=>32k.8+243q.9+5 đồng dư với 11(mod 11)
=>\(3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5⋮11\)