Đặt A = 32 + 33 + 34 + ... + 3101 ( có 100 số; 100 chia hết cho 4)
A = ( 32 + 33 + 34 + 35) + ( 36 + 37 + 38 + 39) + ... + (398 + 399 + 3100 + 3101)
A = 3 . ( 3 + 32 + 33 + 34) + 35 . ( 3 + 32 + 33 + 34) + ... + 397 . ( 3 + 32 + 33 + 34)
A = 3 . 120 + 35 . 120 + ... + 397 . 120
A = 120 . ( 3 + 35 + ... + 397) chia hết cho 120
Chứng minh 32 + 33 + 34 + ... + 3101 chia hết cho 120
Đúng 2
Bình luận (0)
ta co : S = 3 2 + 3 3 + 3 4 +..... 3 101
S = [ 3 +3 2 + 3 3 + 3 4 ] + 3 5 [ 3 + 3 2+ 3 3 + 3 4] +..... + 3 97 [ 3 + 3 2 + 3 3 + 3 4]
S = [ 3 + 3 5 +..... + 3 4 ] + [ 3 + 3 2 + 3 3 +3 4] = M + 120 = S chia het cho 120
Đúng 0
Bình luận (0)
Đặt A = 32 + 33 + 34 + ... + 3101 ( có 100 số; 100 chia hết cho 4)
A = ( 32 + 33 + 34 + 35) + ( 36 + 37 + 38 + 39) + ... + (398 + 399 + 3100 + 3101)
A = 3 . ( 3 + 32 + 33 + 34) + 35 . ( 3 + 32 + 33 + 34) + ... + 397 . ( 3 + 32 + 33 + 34)
A = 3 . 120 + 35 . 120 + ... + 397 . 120
A = 120 . ( 3 + 35 + ... + 397) chia hết cho 120
Chứng minh 32 + 33 + 34 + ... + 3101 chia hết cho 120
Đúng 0
Bình luận (0)
Đặt A = 32 + 33 + 34 + ... + 3101 ( có 100 số; 100 chia hết cho 4)
A = ( 32 + 33 + 34 + 35) + ( 36 + 37 + 38 + 39) + ... + (398 + 399 + 3100 + 3101)
A = 3 . ( 3 + 32 + 33 + 34) + 35 . ( 3 + 32 + 33 + 34) + ... + 397 . ( 3 + 32 + 33 + 34)
A = 3 . 120 + 35 . 120 + ... + 397 . 120
A = 120 . ( 3 + 35 + ... + 397) chia hết cho 120
Chứng minh 32 + 33 + 34 + ... + 3101 chia hết cho 120
Đúng 0
Bình luận (0)
1. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM TUYỂN TẬP 100 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6 (Tài liệu lưu hành nội bộ) BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6 Liên hệ đặt mua tài liệu: Thầy Thích Tel: 0919.281.916 Email: doanthich@gmail.com Website: www.ToanIQ.com2. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM ĐỀ SỐ 1 Bài 1: Tìm số tự nhiên có 3 chữ số abc, biết rằng: acb 2 và 495 cbaabc . Bài 2: a)Tính nhanh: 1979.19781979.1980 195821.19801979.1978 b)Rút gọn: 2 11 2 2 6 2 12 4 2 3 5 .6 .16 6 .12 .15 2.6 .10 81 .960 Bài 3: Tìm số tự nhiên n để phân số 43 996 n n a)Có giá trị là số tù nhiên. b)Là phân số tối giản. Bài 4: Cho 2 3 4 1 12 1 2 3 11 ... ... 5 5 5 5 5n n A với n N. Chứng minh rằng 16 1 A Bài 5: Trên đường thẳng xx’ lấy một điểm O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xx’ vẽ 3 tia Oy, Ot, Oz sao cho: Góc x’Oy = 400 ; xOt = 970 ; xOz = 540 . a) Chứng minh tia Ot nằm giữa hai tia Oy và Oz. b) Chứng minh tia Ot là tia phân giác của góc zOy. HƯỚNG DẪN Bài 1: Ta có: 599:495495999999 10100101001010010100 cacaca abccbaabccbacbaabc Vì acb 2 và 0 ≤ b ≤ 9 mà a - c = 5. Nên ta có: Với a = 9 c = 4 và b2 = 9.4 = 36 b = 6 (Nhận) Với a = 8 c = 3 và b2 = 8.3 = 24 không có giá trị nào của b. Với a = 7 c = 2 và b2 = 7.2 = 14 không có giá trị nào của b. Với a = 6 c = 1 và b2 = 6.1 = 6 không có giá trị nào của b . Bài 2: a) 1000 2.1979 2000.1979 2.1979 1211978.1979 2.1979 195821211978.1979 19781980.1979 19582121.19791979.1978 1979.19781979.1980 195821.19801979.1978 b)3. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM 1440 101 12.120 596 12.15.8 53.32 12.3.5.2 53.2 23.5.3.5.2 53.2.2.3.5 5.2.33.5.2 5.3.23.2.5 5.3.2.35.2.3.2.2 5.3.3.2.3.22.3.2.5 960.8110.6.2 15.12.616.6.5 3 5 11317 514102 3181112417 3101411192 3624412 262224112 32412 2622112 Bài 3: Đặt A = 43 91 2 43 91 43 432 43 91432 43 9186 43 996 nnn n n n n n n n a) Để A là số tù nhiên thì 91⋮ 3n + 4 ⋮ 3n + 4 là ước của 91 hay 3n + 4 thuộc {1; 7; 13; 91}. Với 3n + 4 = 1 n = -1 Loại vì n là số tù nhiên. Với 3n + 4 = 7 n = 1 Nhận A = 2 + 13 = 15. Với 3n + 4 = 13 n = 3 Nhận A = 2 + 7 = 9. Với 3n + 4 = 91 n = 29 Nhận A = 2 + 1 = 3. b) Để A là phân số tối giản thì 91 không chia hết 3n + 4 hay 3n + 4 không là ước của 91 Suy ra 3n + 4 không chia hết cho ước nguyên tố của 91. Từ đó suy ra: 3n + 4 không chia hết cho 7 suy ra n ≠ 7k +1. 3n + 4 không chia hết cho 13 suy ra n ≠ 13m + 3. Bài 4: Xét 2 3 11 1 2 3 11 5 ... ... 5 5 5 5 5n n A Suy ra: 2 3 11 2 3 4 1 12 2 3 11 12 12 1 2 3 11 1 2 3 11 4 5 ... ... ... ... 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 11 4 ... ... 5 5 5 5 5 5 11 4 5 n n n n n A A A A A B Với biểu thức:4. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM 16 1 5 49 1 16 1 5 495 16 1 5.4 4455 5 11 5.4 15 4 1212 12 12 12 1211 11 AA Bài 5: Hình vẽ a)Theo đề bài ta có góc x’Ox = 1800 mà góc x’Oy và góc yOx kề bù. Mà góc x’Oy = 400 ⇒ góc yOx = 1800 - 400 = 1400 Suy ra: góc xOt < góc xOy hay tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy. Lại có: góc xOz < góc xOt hay tia Oz nằm giữa hai tia Ot và Ox. Vậy tia Ot nằm giữa hai tia Oz và Oy. b)Theo câu a ta có tia Ot nằm giữa hai tia Oz và Oy ⇒ Góc zOt + góc tOy = góc zOy. Vì tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy ⇒ Góc xOt + góc tOy = góc xOy hay góc tOy = 430 ( vì góc xOt = 970 và góc xOy = 1400 ). Vì tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot ⇒ Góc xOz + góc zOt = góc xOt hay góc zOt = 430 ( vì góc xOt = 970 và góc xOy = 540 ). Suy ra góc tOy = góc zOt = 430 . Vậy tia Ot là tia phân giác của góc zOy x' O x z t y 970 540 400 2 3 11 2 3 1 10 2 3 10 2 3 11 11 11 11 11 11 1 1 1 1 1 ... ... 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 5 1 ... ... 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 5 1 ... ... ... 5 5 5 5 5 5 5 5 5 1 5 1 5 1 4 1 5 5 4.5 n n n B B B B B B B 5. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM ĐỀ SỐ 2 Thời gian làm bài 120 phút Câu1: a. Tìm các số tự nhiên x, y. sao cho (2x+1)(y-5)=12 b.Tìm số tự nhiên sao cho 4n-5 chia hết cho 2n-1 c. Tìm tất cả các số B= 62xy427, biết rằng số B chia hết cho 99 Câu 2. a. chứng tỏ rằng 230 112 n n là phân số tối giản. b. Chứng minh rằng : 2 2 1 + 2 3 1 + 2 4 1 +...+ 2 100 1 <1 Câu3: Một bác nông dân mang cam đi bán. Lần thứ nhất bán 1/2số cam và 1/2 quả; Lần thứ 2 bán 1/3 số cam còn lạivà 1/3 quả ; Lần thứ 3 bán 1/4số cam còn lại và 3/4 quả. Cuối cung còn lại 24 quả . Hỏi số cam bác nông dân đã mang đi bán . Câu 4: Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng. ĐÁP ÁN Câu1: a.(1đ): Ta có 2x+1: y-5 Là ước của 12 12= 1.12=2.6=3.4 (0,25đ) do 2x+1 lẻ => 2x+1 =1 hoặc 2x+1=3 (0,25đ) 2x+1=1 => x=0; y-5=12 => y=17 hoặc 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 (0,25đ) vậy (x,y) = (0,17); (1,9) (0,25đ) b.(1đ) Ta có 4n-5 = 2( 2n-1)-3 (0,25đ) để 4n-5 chia hết cho2n-1 => 3 chia hết cho2n-1 (0,25đ) =>* 2n-1=1 => n=1 *2n-1=3=>n=2 (0,25đ) vậy n=1;2 (0,25đ) c. (1đ) Ta có 99=11.9 B chia hết cho 99 => B chia hết cho 11và B chia hết cho 99 (0,25đ) *B chia hết cho 9 => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hết cho 9 (x+y+3) chia hết cho 9=> x+y=6 hoặc x+y =15 B chia hết cho 11=> (7+4+x+6-2-2-y) chia hết cho11=> (13+x-y)chia hết cho 11 x-y=9 (loại) hoặc y-x=2 (0,25đ) y-x=2 và x+y=6 => y=4; x=2 (0,25đ) y-x=2 và x+y=15 (loại) vậy B=6224427 (0,25đ) Câu2: a. Gọi dlà ước chung của 12n+1và 30n+2 ta có 5(12n+1)-2(30n+2)=1 chia hết cho d (0,5đ) vậy d=1 nên 12n+1 và 30n+2 nguyên tố cùng nhau do đó 230 112 n n là phân số tối giản (0,5đ) b. Ta có 2 2 1 < 1.2 1 = 1 1 - 2 1 2 3 1 < 3.2 1 = 2 1 - 3 1 ...6. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM 2 100 1 < 100.99 1 = 99 1 - 100 1 (0,5đ) Vậy 2 2 1 + 2 3 1 +...+ 2 100 1 < 1 1 - 2 1 + 2 1 - 3 1 + ...+ 99 1 - 100 1 2 2 1 + 2 3 1 +...+ 2 100 1 <1- 100 1 = 100 99 <1 (0,5đ) Câu 3.Số cam còn lại sau lần bán thứ 2 là : (24+3/4): 3/3 =33(quả) (1đ) Số cam còn lại sau lần bán thứ nhất . (33+1/3) : 2/3 =50 (quả) (1đ) Số cam bác nông dân mang đi bán . (50+1/2) : 1/2 =1001 ( quả) (1đ) Câu 4(1đ) . Mỗi đường thẳng cắt 100 đường tẳng còn lại tạo nên 100 giao điểm . có 101 đường thẳng nên có 101.100 giao điểm . nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần nên chỉ có 101.100:2= 5050 ( giao điểm) ĐỀ SỐ 3 Thời gian làm bài: 120’ Bài 1:(1,5đ) Tìm x a) 5x = 125; b) 32x = 81 ; c) 52x-3 – 2.52 = 52 .3 Bài 2: (1,5đ) Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng: a 5 5 5a Bài 3: (1,5đ) Cho a là một số nguyên. Chứng minh rằng: a. Nếu a dương thì số liền sau a cũng dương. b. Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm. c. Có thể kết luận gì về số liền trước của một số dương và số liền sau của một số âm? Bài 4: (2đ) Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kỳ là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 31 số đó là số dương. Bài 5: (2đ) Cho các số tự nhiên từ 1 đến 11 được viết theo thứ tự tuỳ ý sau đó đem cộng mỗi số với số chỉ thứ tự của nó ta được một tổng. Chứng minh rằng trong các tổng nhận được, bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10. Bài 6: (1,5đ) Cho tia Ox. Trên hai nữa mặt phẳng đối nhău có bờ là Ox. Vẽ hai tia Oy và Oz sao cho góc xOy và xOz bắng 1200. Chứng minh rằng: a. Góc xOy = góc xOz = góc yOz b. Tia đối của mỗi tia Ox, Oy, Oz là phân giác của góc hợp bởi hai tia còn lại ĐÁP ÁN7. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM Bài 1 (1,5đ) a).5x = 125 5x = 53 => x= 3 b) 32x = 81 => 32x = 34 => 2x = 4 => x = 2 c). 52x-3 – 2.52 = 52 .3 52x : 53 = 52 .3 + 2.52 52x : 53 = 52 .5 52x = 52 .5.53 52x = 56 => 2x = 6 => x=3 Bài 2. Vì a là một số tự nhiên với mọi a Z nên từ a < 5 ta => a = {0,1,2,3,4}. Nghĩa là a ={0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4}. Biểu diễn trên trục số cácc số này đều lớn hơn -5 và nhỏ hơn 5 do đó -5<a<5. Bài 3. a)Nếu a dương thì số liền sau cũng dương. Ta có: Nếu a dương thì a>0 số liền sau a lớn hơn a nên cũng lớn hơn 0 nên là số dương b)Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm. Ta có: Nếu a âm thì a<0 số liền trước a nhỏ hơn a nên cũng nhỏ hơn 0 nên là số âm. Bài 4 (2đ). Trong các số đã cho ít nhất có 1 số dương vì nếu trái lại tất cả đều là số âm thì tổng của 5 số bất kỳ trong chúng sẽ là số âm trái với giả thiết. Tách riêng số dương đó còn 30 số chi làm 6 nhóm. Theo đề bài tổng các số của mỗi nhóm đều là số dương nên tổng của 6 nhóm đều là số dương và do đó tổng của 31 số đã cho đều là số dương. Bài 5 (2đ): Vì có 11 tổng mà chỉ có thể có 10 chữ số tận cùng đều là các số từ 0 , 1 ,2, …., 9 nên luôn tìm được hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau nên hiệu của chúng là một số nguyên có tận cùng là 0 và là số chia hết cho 10. Bài 6 (1,5đ). Ta có: góc x’Oy = 60o , góc x'Oz = 600 và tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz nên góc yOz = yOx' + x'Oz = 120o . Vậy Góc xOy = góc xOz = góc yOz Do tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz và góc x'Oy = góc x'Oz nên Ox’ là tia phân giác của góc hợp bởi hai tia Oy, Oz. Tương tự tia Oy’ (tia đối của Oy) và tia Oz’ (tia đối của tia Oz) là phân giác của góc xOz và xOy ĐỀ SỐ 4 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1. Tính: a. A = 4 + 2 2 + 2 3 + 2 4 +. . . + 2 20 b. tìm x biết: ( x + 1) + ( x + 2) + . . . + ( x + 100) = 5750. Câu 2. a. Chứng minh rằng nếu: egcdab 11 thì degabc 11. b. Chứng minh rằng: 10 28 + 8 72. Câu 3.8. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM Hai lớp 6A;6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Lớp 6A có 1 bạn thu được 26 Kg còn lại mỗi bạn thu được 11 Kg ; Lớp 6B có 1 bạn thu được 25 Kg còn lại mỗi bạn thu được 10 Kg . Tính số học sinh mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng 200Kg đến 300 Kg. Câu 4. Tìm 3 số có tổng bằng 210, biết rằng 7 6 số thứ nhất bằng 11 9 số thứ 2 và bằng 3 2 số thứ 3. Câu 5. Bốn điểm A,B,C,Dkhông nằm trên đường thẳng a . Chứng tỏ rằng đường thẳng a hoặc không cắt, hoặc cắt ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, BD, CD. ĐÁP ÁN Câu 1. a). 2A = 8 + 2 3 + 2 4 + . . . + 2 21 . => 2A – A = 2 21 +8 – ( 4 + 2 2 ) + (2 3 – 2 3 ) +. . . + (2 20 – 2 20 ). = 2 21 . b). (x + 1) + ( x + 2 ) + . . . . . . . . + (x + 100) = 5750 => x + 1 + x + 2 + x + 3 + . . . . . . .. . .. . . . + x + 100 = 5750 => ( 1 + 2 + 3 + . . . + 100) + ( x + x + x . . . . . . . + x ) = 5750 101 x 50 + 100 x = 5750 100 x + 5050 = 5750 100 x = 5750 – 5050 100 x = 700 x = 7 Câu 2. a) egcdababc 10010000deg = 9999 cdab 99 + egcdab 11. b). 10 28 + 8 9.8 ta có 10 28 + 8 8 (vì có số tận cùng là 008) nên 10 28 + 8 9.8 vậy 10 28 + 8 72 Câu 3. Gọi số giấy mỗi lớp thu được là x (Kg) thì ( x-26) 11 và ( x-25) 10. Do đó (x-15) BC(10;11) và 200 x 300 => x-15 = 220 => x = 235. Số học sinh lớp 6A là: (235 – 26) : 11 + 1 = 20. hs Số học sinh lớp 6B là: (235 – 25) : 10 + 1 = 22 hs. Câu 4. Số thứ nhất bằng: 11 9 : 7 6 = 22 21 (số thứ hai) Số thứ ba bằng: 11 9 : 3 2 = 22 27 (số thứ hai) Tổng của 3 số bằng 22 272122 (số thứ hai) = 22 70 (số thứ hai) Số thứ hai là : 210 : 22 70 = 66 ; số thứ nhất là: 22 21 . 66 = 63 ; số thứ 3 là: 22 27 .66 = 81 Câu5: Đường thẳng a chia mặt phẳng ra hai nửa mặt phẳng Xét 3 trường hợp a). Nếu cả 4 điểm A, B, CD thuộc cùng một nửa mặt phẳng thì a không cắt đoạn thẳng nào. b). Nếu có 1 điểm ( Chẳng hạn điểm A thuộc nửa mặt phẳng) ba điểm B, C, D thuộc nửa mặt phẳng đối thì đường thẳng a cắt ba đoạn thẳng AB, AC, AD9. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM c). Nếu có 2 điểm chẳng hạn (A và B) thuộc một nửa mặt phẳng hai điểm kia (C và D) thuộc mỗi mặt phẳng đối thì a cắt bốn đoạn thẳng AC, AD, BC, BD ĐỀ SỐ 5 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1 (3đ): a) So sánh: 222333 và 333222 b) Tìm các chữ số x và y để số 281 yx chia hết cho 36 c) Tìm số tự nhiên a biết 1960 và 2002 chia cho a có cùng số dư là 28 Bài 2 (2đ): Cho : S = 30 + 32 + 34 + 36 + ... + 32002 a) Tính S b) Chứng minh S 7 Bài 3 (2đ): Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng khi chia số này cho 29 dư 5 và chia cho 31 dư 28 Bài 4 (3đ): Cho góc AOB = 1350 . C là một điểm nằm trong góc AOB biết góc BOC = 900 a) Tính góc AOC b) Gọi OD là tia đối của tia OC. So sánh hai góc AOD và BOD HƯỚNG DẪN Bài 1 (3đ): a) Ta có 222333 = (2.111)3.111 = 8111 .(111111 )2 .111111 (0,5đ) 333222 = (3.111)2.111 = 9111 .(111111 )2 (0,5đ) Suy ra: 222333 > 333222 b) Để số 281 yx 36 ( 0 x, y 9 , x, y N ) 42 9)281( y yx (0,5đ) 9;7;5;3;142 yy (x+y+2) 9 => x+y = 7 hoặc x+y = 16 => x = 7;9;0;2;4;6 (0,25đ) Vậy ta có các số: 16812; 14832; 12852; 10872; 19872; 17892 (0,25đ) c) Ta có a > 28 => ( 2002 - 1960 ) a => 42 a (0,5đ) => a = 42 (0,5đ) Bài 2 (2đ): a) Ta có 32 S = 32 + 34 + ... + 32002 + 32004 (0,5đ) Suy ra: 8S = 32004 - 1 => S = 8 132004 (0,5đ) b) S = (30 + 32 + 34 ) + 36 (30 + 32 + 34 ) + ... + 31998 (30 + 32 + 34 ) = = (30 + 32 + 34 )( 1 + 36 + ... + 31998 ) = 91( 1 + 36 + ... + 31998 ) (0,75đ) suy ra: S 7 (0,25đ) Bài 3 (2đ): Gọi số cần tìm là: a Ta có a = 29q + 5 = 31p +28 (0,5đ) <=> 29(q - p) = 2p + 23 Vì 2p + 23 lẻ nên( q - p) lẻ => q - p 1. (0,75đ) Vì a nhỏ nhất hay q - p = 1 => p = 3;10. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM => a = 121 (0,5đ) Vậy số cần tìm là 121 (0,25đ) Bài 4 (3đ): a) Theo giả thiết C nằm trong góc AOB nên tia OC nằm giữa hai tia OB và OA => góc AOC + góc BOC = góc AOB => góc AOC = góc AOB - góc BOC => góc AOC = 1350 - 900 = 450 b) Vì OD là tia đối của tia OC nên C, O, D thẳng hàng, Do đó góc DOA + góc AOC = 1800 (hai góc kề bù) => góc AOD = 1800 - góc AOC = 1800 - 450 = 1350 góc BOD = 1800 - 900 = 900 Vậy góc AOD > góc BOD ------------------------------------------------ ĐỀ SỐ 6 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1( 8 điểm 1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a) 571999 b) 931999 2. Cho A= 9999931999 - 5555571997 . Chứng minh rằng A chia hết cho 5. 3 . Cho phân số b a (0 < a < b) cùng thêm m đơn vị (m > 0) vào tử và mẫu thì phân số mới lớn hơn hay bé hơn b a ? 4. Cho số 16*4*710*155 có 12 chữ số . chứng minh rằng nếu thay các dấu * bởi các chưc số khác nhau trong ba chữ số 1,2,3 một cách tuỳ thì số đó luôn chia hết cho 396. 5. chứng minh rằng: a) 3 1 64 1 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1 ; b) 16 3 3 100 3 99 ... 3 4 3 3 3 2 3 1 10099432 Bài 2: (2 điểm ) Trên tia Ox xác định các điểm A và B sao cho OA= a(cm), OB=b (cm) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b< a b) Xác định điểm M trên tia Ox sao cho OM = 2 1 (a+b). ĐÁP ÁN Bài 1: 1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: ( 1 điểm ) Để tìm chữ số tận cùng của các số chỉ cần xét chữ số tận cùng của từng số : a) 571999 ta xét 71999 Ta có: 71999 = (74 )499 .73 = 2041499 . 343 Suy ra chữ số tận cùng bằng 3 ( 0,25 điểm ) Vậy số 571999 có chữ số tận cùng là : 311. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM b) 931999 ta xét 31999 Ta có: 31999 = (34 )499 . 33 = 81499 .27 Suy ra chữ số tận cùng bằng 7 (0,25 điểm ) 2. Cho A = 9999931999 - 5555571997 . chứng minh rằng A chia hết cho 5 Để chứng minh A chia hết cho 5 , ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hạng. Theo câu 1b ta có: 9999931999 có chữ số tận cùng là 7 Tương tự câu 1a ta có: (74 )499 .7 =2041499 .7 có chữ số tận cùng là 7 ( 0,25 điểm ) Vậy A có chữ số tận cùng là 0, do đó A chia hết cho 5. ( 0,25 điểm ) 3 (1 điểm )Theo bài toán cho a < b nên am < bm ( nhân cả hai vế với m) ( 0,25 điểm ) ab +am < ab+bm ( cộng hai vế với ab) ( 0,25 điểm ) a(b+m) < b( a+m) mb ma b a 4.(1 điểm ) Ta nhận thấy , vị trí của các chữ số thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn và vì ba chữ số đó đôi một khác nhau, lấy từ tập hợp 3;2;1 nên tổng của chúng luôn bằng 1+2+3=6. Mặt khác 396 = 4.9.11 trong đó 4;9;11 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta cần chứng minh A = 16*4*710*155 chia hết cho 4 ; 9 và 11. Thật vậy : +A 4 vì số tạo bởi hai chữ số tận cùng của A là 16 chia hết cho 4 ( 0,25 điểm ) + A 9 vì tổng các chữ số chia hết cho 9 : 1+5+5+7+1+4+1+6+(*+*+*)=30+6=36 chia hết cho 9 ( 0,25 điểm ) + A 11 vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là 0, chia hết cho 11. {1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)}= 18-12-6=0 ( 0,25 điểm ) Vậy A 396 5(4 điểm ) a) (2 điểm ) Đặt A= 65432 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 64 1 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1 (0,25 điểm ) 2A= 5432 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 (0,5 điểm ) 2A+A =3A = 1- 1 2 12 2 1 6 6 6 (0,75 điểm ) 3A < 1 A < 3 1 (0,5 điểm ) b) Đặt A= 10099432 3 100 3 99 ... 3 4 3 3 3 2 3 1 3A= 1- 9998332 3 100 3 99 ... 3 4 3 3 3 3 3 2 (0,5 điểm ) 4A = 1- 100999832 3 100 3 1 3 1 ... 3 1 3 1 3 1 4A< 1- 999832 3 1 3 1 ... 3 1 3 1 3 1 (1) (0,5 điểm ) Đặt B= 1- 999832 3 1 3 1 ... 3 1 3 1 3 1 3B= 2+ 98972 3 1 3 1 ... 3 1 3 1 (0,5 điểm )12. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM 4B = B+3B= 3- 99 3 1 < 3 B < 4 3 (2) Từ (1)và (2) 4A < B < 4 3 A < 16 3 (0,5 điểm ) Bài 2 ( 2 điểm ) a) (1 điểm )Vì OB <OA ( do b<a) nên trên tia Ox thì điểm B nằm giữa điểm O và điểm A. Do đó: OB +OA= OA Từ đó suy ra: AB=a-b. b)(1 điểm )Vì M nằm trên tia Ox và OM = 22 2 2 )( 2 1 ba b babba ba = OB + ABOB OBOA 2 1 2 M chính là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AM = BM -------------------------------------------------------- ĐỀ SỐ 7 Thời gian làm bài: 120 phút. A – Phần số học : (7 điểm ) Câu 1:( 2 điểm ) a, Các phân số sau có bằng nhau không? Vì sao? 99 23 ; 99999999 23232323 ; 9999 2323 ; 999999 232323 b, Chứng tỏ rằng: 2x + 3y chia hết cho 17 9x + 5y chia hết cho 17 Câu 2:( 2 điểm ) Tính giá trị của biểu thức sau: A = ( 7 1 + 23 1 - 1009 1 ):( 23 1 + 7 1 - 1009 1 + 7 1 . 23 1 . 1009 1 ) + 1:(30. 1009 – 160) Câu 3 :( 2 điểm ) a, Tìm số tự nhiên x , biết : ( 3.2.1 1 + 4.3.2 1 + . . . + 10.9.8 1 ).x = 45 23 b,Tìm các số a, b, c , d N , biết : 43 30 = d c b a 1 1 1 1 Câu 4 : ( 1 điểm ) Một số tự nhiên chia cho 120 dư 58, chia cho 135 dư 88. Tìm a, biết a bé nhất. B – Phần hình học ( 3 điểm ) : Câu1: ( 2 điểm ) Góc tạo bởi 2 tia phân giác của 2 góc kề bù, bằng bao nhiêu? Vì sao? B A xO13. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM Câu 2: ( 1 điểm) Cho 20 điểm, trong đó có a điểm thẳng hàng. Cứ 2 điểm, ta vẽ một đường thẳng. Tìm a , biết vẽ được tất cả 170 đường thẳng. ĐÁP ÁN A. PHẦN SỐ HỌC Câu 1: a, Ta thấy; 9999 2323 101.99 101.23 99 23 999999 232323 10101.99 10101.23 99 23 99999999 23232323 1010101.99 1010101.23 99 23 Vậy; 99999999 23232323 999999 232323 9999 2323 99 23 b, Ta phải chứng minh , 2. x + 3 . y chia hết cho 17, thì 9 . x + 5 . y chia hết cho 17 Ta có 4 (2x + 3y ) + ( 9x + 5y ) = 17x + 17y chia hết cho 17 Do vậy ; 2x + 3y chia hết cho 17 4 ( 2x +3y ) chia hết cho 17 9x + 5y chia hết cho 17 Ngược lại ; Ta có 4 ( 2x + 3y ) chia hết cho 17 mà ( 4 ; 17 ) = 1 2x + 3y chia hết cho 17 Câu 2 ; Ta viết lại A như sau : A= 1009.7.23). 1009 1 . 7 1 . 23 1 1009 1 7 1 23 1 ( 1009.7.23). 1009 1 7 1 23 1 ( + 11611009).723( 1 = 17.231009.231009.7 7.231009.231009.7 + 17.231009.71009.23 1 = 1 Câu 3; a, 2 1 ( 10.9 1 ... 4.3 1 3.2 1 3.2 1 2.1 1 ) . x = 45 23 ) 90 1 2 1 .( 2 1 . x = 45 23 x = 2 b, 43 30 = 4 1 3 1 2 1 1 1 13 4 2 1 1 1 30 13 1 1 30 43 1 => a =1 ; b = 2 ; c = 3 ; d = 4 Câu 4; Ta có 88.135 58.120 2 1 qa qa (q1, q2 N ) 704.10808 52210809 2 1 qa qa Từ ( 2 ) , ta có 9 . a = 1080 . q2 + 704 + a ( 3 ) Kết hợp ( 1 ) với ( 2 ) , ta được a = 1080 . q – 180 Vì a nhỏ nhất, cho nên, q phải nhỏ nhất => q = 1 => a = 898 B- PHẦN HÌNH HỌC14. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM Câu 1: Gọi Ot , Ot, là 2tia phân giác của 2 kề bù ̂ và ̂ Giả sử , ̂ = a ; => ̂ = 180 – a Khi đó : ̂ = 1 2 a,̂ = 1 2 (180 – a) ̂ = 1 2 a + 1 2 (180 – a) = 900 Câu 2: Giả sử trong 20 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Khi đó, số đường thẳng vẽ được là: 19 . 20:2 = 190 Trong a điểm, giả sử không có 3 điểm nào thẳng hàng.Số đường thẳng vẽ được là : (a – 1 ) a : 2 . Thực tế, trong a điểm này ta chi vẽ được 1 đường thẳng. Vậy ta có : 190 – ( a- 1)a : 2 + 1 = 170 => a = 7 ĐỀ SỐ 8 Thời gian làm bài : 120’ Bài 1 : (3 đ) Người ta viết các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 đến 2006 liền nhau thành một số tự nhiên L . Hỏi số tự nhiên L có bao nhiêu chữ số . Bài 2 : (3đ) Có bao nhiêu chữ số gồm 3 chữ số trong đó có chữ số 4 ? Bài 3 : (4đ) Cho băng ô gồm 2007 ô như sau : 17 36 19 Phần đầu của băng ô như trên . Hãy điền số vào chố trống sao cho tổng 4 số ở 4 ô liền nhau bằng 100 và tính :15. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM a) Tổng các số trên băng ô . b) Tổng các chữ số trên băng ô . c) Số điền ở ô thứ 1964 là số nào ? ĐÁP ÁN Bài 1 : Có 9 số có 1 chữ số từ 1 đến 9 ( 0.25đ) Có 90 số có 2 chữ số từ 10 đến 99 (0.5đ) Có 900 số có 3 chữ số từ 100 đến 999 (0.5đ) Các số có 4 chữ số là từ 1000 đến 2006 có : 2006 - 1000 + 1 = 1007 số (0.5đ) Số chữ số của số tự nhiên L là : 9 + 90.2 + 900.3 + 1007.4 = 6917 (chữ số ) (1.25đ) Bài 2 : Có 900 số có 3 chữ số từ 100 đến 999 (0.25đ) Ta chia 900 sô thành 9 lớp , mỗi lớp có 100 số (0.25đ) có cùng chữ số hàng trăm . Lớp thứ nhất gồm 100 số từ 100 đến 199 Lớp thứ hai gồm 100 số từ 200 đến 299 ………………………………… Lớp thứ 9 gồm 100 số từ 900 đến 999 (05đ) Xét 9 lớp thì lớp thứ 4 cả 100 số đều có chữ số 4 ở hàng trăm . 8 lớp còn lại hàng trăm khác 4 nên chữ số 4 nếu có thì ở hàng chục và hàng đơn vị (0.25đ) . Xét lớp thứ nhất thì các số có chữ số 4 làm hàng đơn vị gồm : 104, 114……194 (có 10 số ) (05đ) các số có 4 chữ số làm hàng chục là 140,141,142,………..149 (có 10 số) (0.5đ) Nhưng số 144 có mặt ở trong cả 2 trờng hợp vậy ở lớp thứ nhất số lợng số có chữ số 4 là : 10 + 10 - 1 = 19 (số) (0.25đ) Bảy lớp còn lại cũng theo quy luật ấy . Vậy số lợng số có 3 chữ số có chữ số 4 là : 100 + 19.8 = 252 số (0.5đ) Bài 3 : Ta dùng các số 1; 2; 3 ………….để đánh số cho các ô phần đầu băng ô (0.25đ) . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 17 19 36 28 17 19 36 28 17 Vì các ô số 4; 5; 6; 7 và 3; 4; 5; 6 nên số ở ô số 3 và ô số 7 bằng nhau ô số 3 là 19 (0.5đ) 100 - (17 + 19 + 36) = 28 Vậy ô số 1 là số 28 ( 0.25đ) 100 - (17 + 19 + 36) = 28 . Vậy số điền ô thứ 5 là số 28 ( 0.25đ) số điền ở ô số 6 cũng là số 17 (0.25đ) Ta có : 2007 = 501.4 + 3 Vậy ta có 501 nhóm 4 ô , d 3 ô cuối là ô thứ 2005; 2006; 2007 với các số 28; 17; 19 (0.5đ) a) Tổng các số trên băng ô là : 100.501 + 28 +17 +19 = 50164 (1đ) b) Tổng các chữ số ở mỗi nhóm ô là : 2 + 8 +1 + 7 +1 +9 + 3 + 6 = 37 (0.5đ) Tổng các chữ số trên băng ô là :16. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM 37.501 + 2 + 8 + 1 + 7 +1 +9 = 18567 c) 1964 4 . vậy số điền ở ô thứ 1964 là số 36 . (0.5đ) -------------------------------------------------------- ĐỀ SỐ 9 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (1 điểm) a. Điền dấu thích hợp vào ô trống: Nếu ab và b10 a 10 b. Viết tập hợp M các số chẵn a thỏa mãn a 10 c. Có bao nhiêu số chẵn nhỏ hơn n (nN) Bài 2: (2 điểm)Cho A = 3 + 32 + 33 + 34 ………+ 3100 chứng minh A chia hết cho 120. Bài 3: (2 điểm)Cho các số 0; 1; 3; 5; 7; 9. Hỏi có thể thiết lập được bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 5 từ sáu chữ số đã cho. Bài 4: (2 điểm) Tổng số trang của 8 quyển vở loại 1 ; 9 quyển vở loại 2 và 5 quyển vở loại 3 là 1980 trang. Số trang của 3 quyển vở loại 2 chỉ bằng số trang của 2 quyển vở loại 1. Số trang của 4 quyển vở loại 3 bằng số trang của 3 quyển vở loại 2. Tính số trang của mỗi quyển vở mỗi loại. Bài 5: (1,5 điểm) Cho góc xÔy có số đo bằng 1250 . Vẽ tia Oz sao cho yÔz = 350 . Tính trong từng trường hợp. Bài 6: (1,5 điểm) Cho ba điểm A, B, C nằm ngoài đường thẳng a. Biết rằng cả hai đoạn thẳng BA, BC đều cắt đường thẳng a. Hỏi đường thẳng a có cắt đoạn thẳng AC không? Vì sao? HƯỚNG DẪN Bài 1: (1 điểm) Điền dấu thích hợp vào ô trống là ( Nếu ab và b 10 a 10) 0,25 đ a. M = 0; 2; 4; 6; 8; 10 0,25 đ b. Ta phải xét hai trường hợp: + Số n là số chẵn, lúc đó số chẵn nhỏ hơn n là 2 n 0,25 đ + Số n là số lẻ, lúc đó số chẵn nhỏ hơn n là 2 1n 0,25đ Bài 2: (2 điểm) Ta nhóm làm 25 nhóm, mỗi nhóm 4 số hạng như sau: A = (3 + 32 + 33 + 34 ) +……+ (397 +398 +399 +3100 ) = 3 (1 + 3 + 32 +33 )+…….+ 397 (1+3+32 +33 ) 0,5 đ Ta lại thấy: 1 + 3 + 32 +33 = 40 Nên A = 40. (3 + 35 +39 +………+397 ) 0,5đ = 40.3 (30 + 34 +38 +………+396 ) 0,5đ = 120. (30 + 34 +38 +………+396 ) Điều này chứng tỏ A⁞120 (đpcm) 0,5đ Bài 3: (2 điểm) Mỗi số có dạng: ; 0,25đ17. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM * Với - Có 5 cách chọn chữ số hàng nghìn (vì chữ số hàng nghìn phải khác 0). 0,5đ - Có 6 cách chọn chữ số hàng trăm. - Có 6 cách chọn chữ số hàng chục 0,25đ Vậy dạng có 5.6.6 = 180 số. 0,5đ * Với Cách chọn tương tự và cũng có 180 số. Số thiết lập được là 180+180=360 số 0,5đ (có 4 chữ số chia hết cho 5 từ 6 chữ số đã cho) Bài 4: (2 điểm) Ta ký hiệu: Loại 1: LI; Loại 2 : LII; Loại 3: LIII Ta có số trang của 3 quyển LII bằng số trang của 2 quyển LI 0,5đ Mà số trang của 4 quyển LIII bằng 3 quyển LII , nên số trang của 2 quyển LI bằng số trang của 4 quyển LIII 0,5đ Do đó số trang của 8 quyển LI bằng :4 .8 : 2 = 16 ( quyển LIII ) Số trang của 9 quyển LII bằng 9 .4 : 3 = 12 (quyển LIII) LIII: 5 quyển (theo bài ra) Vậy 1980 chính là số trang của 16 + 12+ 5 = 33(quyển LIII) 0,5đ Suy ra: Số trang 1 quyển vở loại 3 là 1980 : 33 = 60 ( trang) Số trang 1 quyển vở loại 2 là 80 3 4.60 (trang) Số trang 1 quyển vở loại1 là; 120 2 3.80 ( trang) 0,5 Bài 5: (1,5 điểm) Vẽ hình (0,5đ) 0 x z y z’ 1250 350 Có 2 cách vẽ tia 0z: cách 1 gọi là 0z, cách 2 gọi là 0z’ (như hình vẽ) zx0 = 1250 -350 =900 (0,5đ) '0 zx = 1250 +350 =1600 (0,5đ)18. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM Bài 6: (1,5 điểm) (Vẽ hình 0,5đ) ---------------------------------------- ĐỀ SỐ 10 Thời gian làm bài: 150 phút (Năm học 1998-1999) Bài 1: (4 Điểm) Cho A = 7 + 73 + 75 + ... + 71999 Chứng minh rằng A chia hết cho 35. Bài 2: (4 Điểm) Tìm số nguyên tố p để p + 10 và p + 14 đều là các số nguyên tố. Bài 3: (4 Điểm) Cho 1998 1 ........... 3 1 2 1 1 n m với m, n là số tự nhiên. Chứng minh rằng m chia hết cho 1999. Nêu bài toán tổng quát. Bài 4: (4 Điểm) Cho phân số 002000200020 991999199919 A và phân số 2000 1999 B So sánh A và B. Bài 5: (4 Điểm) Ô tô A đi từ Hà Nội về Phủ Lý, ô tô B đi từ Phủ Lý lên Hà Nội, chúng gặp nhau lần thứ nhất tại một địa Điểm cách Hà Nội 25 Km. Khi xe đến Phủ Lý thì lập tức quay trở lại Hà Nội, còn xe kia đến Hà Nội lập tức quay trở về Phủ Lý .... Cứ như vậy cho đến lần gặp nhau lần thứ 3 thì hai xe ở cách Hà Nội là 5 Km. Tính quãng đường từ Phủ Lý đi Hà Nội. ĐÁP ÁN A C B a Đường thẳng a cắt đoạn thẳng AB thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a. (0,5đ) Lập luận tương tự, hai điểm B và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a. Suy ra hai điểm A và C thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ a. Vậy đường thẳng a không cắt đoạn thẳng AC. (0,5đ)19. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM Bài 1: A = 7 + 73 + 75 + ... + 71999 = (7 + 73 ) + (75 + 77 ) + ..... + (71997 +71999 ) A = 7(1 + 72 ) + 75 (1 + 72 ) + ... + 71997 (1 + 72 ) A = 7.50 + 75 .50 + 79 .50 + ... + 71997 .50 => A Chia hết cho 5 (1) A = 7 + 73 + 75 + ... + 71999 = 7.( 70 + 72 + 74 + ... + 71998 ) => A Chia hết cho 7 (2) Mà ƯCLN(5,7) = 1 => A Chia hết cho 35. Bài 2: Nếu p là số nguyờn tố chẵn => p = 2. Khi đó: p + 10 = 12 không là số nguyờn tố. Vậy p = 2 loại. Nếu p là số nguyờn tố lẻ => p =3 hoặc p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2. +./ p = 3 => p + 10 = 13 là số nguyờn tố và p + 14 = 17 là số nguyờn tố. Vậy p = 3 là số nguyờn tố thoả mãn điều kiện đầu bài. +./ p = 3k + 1 (k N* ) => p + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5) Chia hết cho 3 và k + 5 > 5 Nên p + 14 là hợp số. Vậy p = 3k + 1 loại +./ p = 3k + 2 (k N* ) => p + 10 = 3k + 12 = 3(k + 4) Chia hết cho 3 và k + 4 > 4 Nên p + 10 là hợp số. Vậy p = 3k + 2 loại Bài 3: 1998 1 ........... 3 1 2 1 1 n m . Từ 1 đến 1998 có 1998 số Nên vế phải có 1998 số hạng ta ghép thành 999 cặp như sau: 1000 1 999 1 ........... 1996 1 3 1 1997 1 2 1 1998 1 1 n m 1000.999 1999 ....... 1996.3 1999 1997.2 1999 . 1998.1 1999 Quy đồng tất cả 999 phaan số này ta được: 1998.19978.1996............................................9.8.7.6.5.4.3.2.1 .1999.1999.1999.........1999.1999.1999 999998997321 aaaaaa n m Với a1 , a2 , a3 , ........... , a998 , a999 N 1998.1997.1996..............................3.2.1 )..........(1999 999998997321 aaaaaa n m Vì 1999 là số nguyên tố. Nên sau khi rút gọn, đưa về dạng phân số tối giản thì tử số vẫn còn thừa số 1999. Vậy m Chia hết cho 1999. Bài 4: 2000200000002000000000 1999199900001999000000 002000200020 991999199919 A B 2000 1999 100010001.2000 100010001.1999 )110000100000000(2000 )110000100000000(1999 Vậy A = B. Bài 5: Hai xe đi ngược chiều nhau, gặp nhau lần thứ nhất thì cả 2 xe đi được 1 lần quãng đường Hà Nội - Phủ Lý. Vì cả hai xe ở cách Hà Nội 25 Km vậy xe đi từ Hà Nội về đã đi được quãng đường 25 Km.20. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM Vì 2 xe lại quay lại đoạn đường trên nên phải gặp nhau lần 2, ở lần gặp này cả 2 xe đã đi được 3 lần quãng đường Hà Nội - Phủ Lý và như vậy ở lần gặp thứ 3 thì 2 xe đã đi được 5 lần quãng đường Hà Nội - Phủ Lý. 1 lần quãng đường Hà Nội - Phủ Lý thì xe ô tô từ Hà Nội về đã đi được 25 Km. Vậy 5 lần quãng đường Hà Nội - Phủ Lý thì xe đó đi được quãng đường là: 25 Km x 5 = 125 Km. Thực tế thì xe đó đã đi được 2 lần quãng đường Hà Nội - Phủ Lý và thêm 5 Km. Vậy quãng đường Hà Nội - Phủ Lý là: (125 - 5) : 2 = 60 (Km). Đáp số: 60 Km. ------------------------------------------------------------------------- ĐỀ SỐ 11 Thời gian làm bài: 120 phút I. TRẮC NGIỆM: Điền dấu x vào ô thích hợp:( 1 điểm) II. TỰ LUẬN: Câu 1:Thực hiện các phép tính sau: (4 điểm) a. 729.7239.162.54.18234.9.3 27.81.243729.2181 22 b. 100.99 1 99.98 1 4.3 1 3.2 1 2.1 1 Câu Đúng Sai a. Số -5 bằng –5 + (0.25 điểm) . Số 11 bằng (0.25 điểm) c) Số -11 bằng –11- (0.25 điểm) d) Tổng -3 + 2 bằng -1 (0.25 điểm) 5 1 5 1 7 3 7 80 4 5 4 5 5 1 3 2 15 1321. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM c. 1 100 1 4 1 3 1 2 1 2222 d. 629199 920915 27.2.76.2.5 8.3.494.5 Câu 2: (2 điểm) Một quãng đường AB đi trong 4 giờ. Giờ đầu đi được 3 1 quãng đường AB. Giờ thứ 2 đi kém giờ đầu là 12 1 quãng đường AB, giờ thứ 3 đi kém giờ thứ 2 12 1 quãng đường AB. Hỏi giờ thứ tư đi mấy quãng đường AB? Câu 3: (2 điểm) a. Vẽ tam giác ABC biết BC = 5 cm; AB = 3cm ;AC = 4cm. b. Lấy điểm O ở trong tam giác ABC nói trên.Vẽ tia AO cắt BC tại H, tia B0 cắt AC tại I,tia C0 cắt AB tại K. Trong hình đó có có bao nhiêu tam giác. Câu 4: (1 điểm) a. Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau: 2100 ; 71991 b.Tìm bốn chữ số tận cùng của số sau: 51992 ĐÁP ÁN I - TỰ LUẬN. Câu 1: Thực hiện các phép tính. Câu a. 729.723162.6.2.9243.9.3 9.813.243729.2181 322 729.7231944.729243.729 729729.2181 2 1 2910.729 2910.729 )7231944243(729 )7292181(729 Câu b. Ta có: ; 2 1 1 1 2.1 1 ; 3 1 2 1 3.2 1 ; 4 1 3 1 4.3 1 …..; ; 99 1 98 1 99.98 1 100 1 99 1 100.99 1 Vậy 100.99 1 99.98 1 4.3 1 3.2 1 2.1 1 100 1 99 1 99 1 98 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 100 99 100 1 1 . Câu c. Ta có: ; 2 1 1 1 2.1 1 2 1 2 ; 3 1 2 1 3.2 1 3 1 2 ;100 1 99 1 100.99 1 100 1 ;...; 4 1 3 1 4.3 1 4 1 22 Vậy 2222 010 1 4 1 3 1 2 1 100.99 1 4.3 1 3.2 1 2.1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 99 100 1 99 1 1. 2 100 Câu d: 30 18 2 20 27 29 18 9 19 19 29 18 28 18 5.2 .3 2 .3 .2 2 .3 (5.2 3) 2 5 .2 .2 .3 7.2 .3 2 .3 (5.3 7.2) 22. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM Câu 2: Quãng đường đi được trong 3 giờ đầu là: 1 1 1 1 1 1 3 3 12 3 12 12 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 12 12 12 4 Quãng đường đi trong giờ thứ tư là 4 1 quãng đường Câu 3: a. Vẽ đoạn thẳng BC=5cm Vẽ cung tròn (B;3cm) B C Vẽ cung tròn (C;4cm) H Lấy giao đIểm A của hai cung trên. Vẽ các đoạn thẳng AB, AC ta được tam giác ABC. b. Có 6 tam giác” đơn” là AOK; AOI; BOK; BOH; COH; và COI. Có 3 tam giác “Ghép đôi” là AOB; BOC; COA. Có 6 tam giác “Ghép ba” Là ABH; BCI; CAK; ABI; BCK; CAH. Có một tam giác “Ghép 6” là tam giác ABC. Vậy trong hình có tất cả 6+3+1+6 = 16(Tam giác). Câu 4: a.Tìm hai số tận cùng của 2100 . 210 = 1024, bình phương của hai số có tận cùng bằng 24 thì tận cùng bằng 76, có số tận cùng bằng 76 nâng lên lũy thừa nào( khác 0) cũng tận cùng bằng 76. Do đó: 2100 = (210 )10 = 1024 = (10242 )5 = (…76)5 = …76. Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 là 76. * Tìm hai chữ số tận cùng của 71991 . Ta thấy: 74 =2401, số có tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa nào cũng tận cùng bằng 01. Do đó: 71991 = 71988 . 73 = (74 )497 . 343 = (…01)497 . 343 = (…01) x 343 =…43 Vậy 71991 có hai số tận cùng là 43. Tìm 4 số tận cùng của 51992 . 51992 = (54)498 =0625498 =…0625 ------------------------------------------------------------------------------------------ ĐỀ SỐ 12 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: Tìm các chữ số a, b sao cho chia hết cho 63. Câu 2 : Cho Câu 3 : Một người đi xe đạp từ A về B với vận tốc 12km /h. Lát sau một người thứ 2 cũng đi từ A về B với vận tốc 21km /h. Tính ra hai người sẽ gặp nhau tại . Người thứ 2 đi được nửa quãng đường AB thì tăng vận tốc lên thành 24km /h. Vì vậy 2 người gặp nhau cách B 7 km.Tính chiều dài quãng đường AB. Câu 4 : Cho tam giác ABC có AB=AC. M là một điểm nằm giữa A và C, N là một điểm nằmg giữa A và B sao cho CM=BN. a, Chứng minh rằng đoạn thẳng BM cắt đoạn thẳng CN, 1996412 ba B A sètûÝnh 1311 143 989 39 43.19 65 31.19 91 2962 25 2392 30 46.39 35 38.31 40 TB A AA C I K B A O H23. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM b, Chứng minh rằng góc B = góc C, BM=CN Câu 5 : Tìm các số tự nhiên a, b thoả mãn các đièu kiện sau: và 8a - 9b = 31 ĐÁP ÁN Bài 1: Đặt Nba 1996412 N 63 N 9 và N 7 N 9 (1+2+a+4+b+1+9+9+6 ) 9 (a+b+5) 9 (a+b) {4,13} N = 120401996 + 1000000a + 10000b 7 (a+4b+1) 7 + Nếu a+b = 4 (4+3b+1) 7 (3b + 5) 3b : 7 dư 2 b = 3 a = 1 + Nếu a+b = 13 (13+3b+1) 7 3b 7 b 7 b {0; 7} b = 7 ; a = 6 a 1 6 B 3 7 12a4b1996 121431996 126471996 Bài 2: A = 57.52 25 52.46 30 46.39 35 39.31 40 = 57 1 52 1 5 25 52 1 46 1 6 30 46 1 39 1 7 35 39 1 31 1 8 40 = 57.31 26.5 57 1 31 1 5 B = 19.69 143 43.23 39 43.19 65 31.19 91 62 5 57 52.13 : 57.31 26.5 57 52.13 57.43 28 19.31 24 13 57 11 43 3 23 13 43 5 31 7 19 13 B A Bài 3: Hiệu vận tốc trên nửa quãng đường đầu là 21 - 12 = 9 (km/h) sau là : 24 - 12 = 12(km/h) Do trên nửa quãng đường sau hiệu vận tốc bằng 3 4 hiệu vận tốc trên nửa quãng đường đầu(theo dự định). Nên thời gian xe thứ 2 đi từ giữa quãng đường đến chỗ gặp bằng 4 3 thời gian xe 2 đi nửa quãng đường đầu Thời gian xe 2 đi nửa quãng đường là: 3 7 4. 12 7 (h) Quãng đường AB dài là: )(9821.2. 3 7 km Bài 5: Tìm a,b N sao cho 29 23 7 11 b a và 8b - 9a = 31 8b - 9a = 31 b = 8 8132 8 931 aaa N (a-1) 8 a = 8q + 1(q N) 29 23 17 11 b a24. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM b = 29 23 59 18 17 11 59 8 )18(931 q q q q 11(9q+5) < 17(8q+1) 37q > 38 q > 1 29(8q+1) < 23(9q+5) 25q < 86 q < 4 q {2; 3} q = 2 17 23 b a q = 3 25 32 b a ------------------------------------------------------------ ĐỀ SỐ 13 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1( 3 điểm) a, Cho A = 9999931999 - 5555571997 . Chứng minh rằng A chia hết cho 5 b, Chứng tỏ rằng: 41 1 + 42 1 + 43 1 + …+ 79 1 + 80 1 > 12 7 Bài 2 ( 2,5 điểm) Tổng số trang của 8 quyển vở loại 1 ; 9 quyển vở loại 2 và 5 quyển vở loại 3 là 1980 trang. Số trang của một quyển vở loại 2 chỉ bằng 3 2 số trang của 1 quyển vở loại 1. Số trang của 4 quyển vở loại 3 bằng số trang của 3 quyển vở loại 2. Tính số trang của mỗi quyển vở mỗi loại. Bài 3: (2 Điểm). Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1+ 2+ 3+ …….+ n = aaa Bài4 ; (2,5 điểm) a, Cho 6 tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ ? Vì sao. b, Vậy với n tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ. ĐÁP ÁN Bài1: a, 1,5 điểm. để chứng minh A ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hạng Ta có: 31999 = ( 34 )499 . 33 = 81499 . 27 Suy ra: 31999 có tận cùng là 7 71997 = ( 74 )499 .7 = 2041499 . 7 7 1997 Có tận cùng là 7 Vậy A có tận cùng bằng 0 A 5 b, (1,5 điểm) Ta thấy: 41 1 đến 80 1 có 40 phân số. Vậy 80 1 79 1 78 1 ...... 43 1 42 1 41 1 = 60 1 59 1 ...... 42 1 41 1 + 62 1 61 1 …….+ 80 1 79 1 (1) Vì . 42 1 41 1 …..> 60 1 và 61 1 > 62 1 >…> 80 1 (2)25. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM Ta có 60 1 60 1 ….+ 60 1 60 1 + 80 1 + 80 1 +….+ 80 1 80 1 = 12 7 12 34 4 1 3 1 80 20 60 20 (3) Từ (1) , (2), (3) Suy ra: 80 1 79 1 78 1 ...... 43 1 42 1 41 1 > 12 7 Bài 2: Vì số trang của mỗi quyển vỡ loại 2 bằng 3 2 số trang của 1 quyển loại 1. Nên số trang của 3 quyển loại 2 bằng số trang của 2 quyển loại 1 Mà số trang của 4 quyển loại 3 bằng 3 quyển loại 2. Nê số trang của 2 quyển loại 1 bằng số trang của 4 quyển loại 3 Do đó số trang của 8 quyển loại 1 bằng : 4 .8 : 2 = 16 ( quyển loại 3) Số trang của 9 quyển loại 2 bằng 9 .4 : 3 = 12 (quỷên loại 3) Vậy 1980 chính là số trang của 16 + 12+ 5 = 33(quyển loại 3) Suy ra: Số trang 1 quyển vở loại 3 là 1980 : 33 = 60 ( trang) Số trang 1 quyển vở loại 2 là 80 3 4.60 (trang) Số trang 1 quyển vở loại1 là; 120 2 3.80 ( trang) Bài 3: Từ 1; 2; ………; n có n số hạng Suy ra 1 +2 +…+ n = 2 ).1( nn Mà theo bài ra ta có 1 +2 +3+…..+n = aaa Suy ra 2 ).1( nn = aaa = a . 111 = a . 3.37 Suy ra: n (n+1) = 2.3.37.a Vì tích n(n+1) Chia hết cho số nguyên tố 37 nên n hoặc n+1 Chia hết cho 37 Vì số 2 ).1( nn có 3 chữ số Suy ra n+1 < 74 n = 37 hoặc n+1 = 37 +) Với n= 37 thì 703 2 38.37 ( loại) +) Với n+1 = 37 thì 666 2 37.36 ( thoả mãn) Vậy n =36 và a=6 Ta có: 1+2+3+…..+ 36 = 666 Bài 4 : A, 1,5 điểm Vì mỗi tia với 1 tia còn lại tạo thành 1 góc. Xét 1 tia, tia đó cùng với 5 tia còn lại tạo thành 5 góc. Làm như vậy với 6 tia ta được 5.6 góc. Nhưng mỗi góc đã được tính 2 lần do đó có tất cả là 15 2 6.5 góc B, 1 điểm . Từ câu a suy ra tổng quát. Với n tia chung gốc có n( 2 1n ) (góc).26. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM ĐỀ SỐ 14 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1(3 điểm). a.Tính nhanh: A = 1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54 1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45 b.Chứng minh : Với kN* ta luôn có : 1 2 1 1 3. 1k k k k k k k k . Áp dụng tính tổng : S = 1.2 2.3 3.4 ... . 1n n . Bài 2: (3 điểm). a.Chứng minh rằng : nếu 11ab cd eg thì : deg 11abc . b.Cho A = 2 3 60 2 2 2 ... 2 . Chứng minh : A 3 ; 7 ; 15. Bài 3(2 điểm). Chứng minh : 1 22 + 1 32 + 1 42 + … + 1 n2 < 1 Bài 4(2 điểm). a.Cho đoạn thẳng AB = 8cm. Điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC = 4cm. Tính độ dài đoạn thẳng AC. b.Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Tính số giao điểm của chúng. ĐÁP ÁN Bài 1. a. 1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54 1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45 = 1.5.6 1 2.2.2 4.4.4 9.9.9 1.5.6 2 1.3.5 1 2.2.2 4.4.4 9.9.9 1.3.5 . b.Biến đổi : 1 2 1 1 1 2 1 3 1k k k k k k k k k k k k Áp dụng tính : 3. 1.2 1.2.3 0.1.2. 3. 2.3 2.3.4 1.2.3. 3. 3.4 3.4.5 2.3.4. ................................... 3. 1 1 2 1 1n n n n n n n n Cộng lại ta có : 1 2 3. 1 2 3 n n n S n n n S . Bài 2. a.Tách như sau : deg 10000 100 9999 99abc ab cd eg ab cd ab cd eg .27. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM Do 9999 11;99 11 9999 99 11ab cd Mà : 11ab cd eg (theo bài ra) nên : deg 11.abc b.Biến đổi : *A = 2 3 4 3 4 59 60 3 59 2 2 2 2 2 2 ... 2 2 2 1 2 2 1 2 ... 2 1 2 = 3 59 3 2 2 ... 2 3. *A = 2 3 4 5 6 58 59 60 2 2 2 2 2 2 ... 2 2 2 = = 2 4 2 58 2 2. 1 2 2 2 . 1 2 2 ... 2 . 1 2 2 = 4 58 7 2 2 ... 2 7 . *A = 2 3 4 5 6 7 8 57 58 59 60 2 2 2 2 2 2 2 2 ... 2 2 2 2 = = 2 3 5 2 3 57 2 3 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 ... 2 1 2 2 2 = = 5 57 15. 2 2 ... 2 15. Bài 3. Ta có : 2 1 1 1 1 . 1 1n n n n n Áp dụng : 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ;...; . 2 2 3 2 3 1n n n 1 22 + 1 32 + 1 42 + … + 1 n2 < 1 1 1. n Bài 4. a.Xét hai trường hợp : *TH 1: C thuộc tia đối của tia BA. Hai tia BA, BC là hai tia đối nhau B nằm giữa A và C AC = AB + BC = 12 cm. *TH 2 : C thuộc tia BA. C nằm giữa A và B (Vì BA > BC) AC + BC = AB AC = AB - BC = 4 cm. b. - Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lại nên tạo ra 100 giao điểm. - Có 101 đường thẳng nên có : 101.100 = 10100 giao diểm. -Do mỗi giao điểm được tính hai lần nên số giao điểm là : 10100 : 2 = 5050 giao điểm. Lưu ý : Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Bài hình không vẽ hình không chấm điểm. ------------------------------------------------------------- ĐỀ SỐ 15 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: Cho S = 5 + 52 + 53 + ………+ 52006 a, Tính S CBA CBA28. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM b, Chứng minh SM126 Câu 2. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho số đó chia cho 3 dư 1; chia cho 4 dư 2 ; chia cho 5 dư 3; chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11. Câu 3. Tìm các giá trị nguyên của n để phân số A = 3 2 1 n n có giá trị là số nguyên. Câu 4. Cho 3 số 18, 24, 72. a, Tìm tập hợp tất cả các ước chung của 3 số đó. b, Tìm BCNN của 3 số đó Câu 5. Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C, D. biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D ; OA = 5cm; OD = 2 cm ; BC = 4 cm và độ dài AC gấp đôi độ dài BD. Tìm độ dài các đoạn BD; AC. ĐÁP ÁN Câu 1. (2đ). a, Ta có 5S = 52 + 53 +54 +………+52007 5S –S = (52 + 53 +54 +………+52007 ) – (5 + 52 + 53 + ………+ 52006 ) 4S = 52007 -5 Vậy S = 2007 5 5 4 b, S = (5 + 54 ) + (52 + 55 ) +(53 + 56 ) +……….. + (52003 +52006 ) Biến đổi được S = 126.(5 + 52 + 53 +………+ 52003 ) Vì 126 M126 S M126 Câu 2. (3đ) Gọi số phải tìm là x. Theo bài ra ta có x + 2 chia hết cho 3, 4, 5, 6. x + 2 là bội chung của 3, 4, 5, 6 BCNN(3;4;5;6) = 60 . nen x + 2 = 60.n Do đó x = 60.n – 2 (n = 1;2;3…..) Mặt khác xM11 lần lượt cho n = 1;2;3…. Ta thấy n = 7 thì x = 418 M11 Vậy số nhỏ nhất phải tìm là 418. Câu 3. (1đ). Ta có 3 2 3 3 5 3( 1) 5 5 3 1 1 1 1 n n n n n n n Để A có giá trị nguyên 5 1n nguyên. Mà 5 1n nguyên 5 M(n-1) hay n-1 là ước của 5 Do Ư5 = 1;5 Ta tìm được n =2 n =0 n =6 n = -4 Câu 4 (2đ) A, Tìm được các Ư(18); Ư (24) ; Ư(72) đúng cho 0,5đ ƯC (18;24;72)= 1; 2; 3; 6 b, Ta có 72 B(18) 72 B(24) BCNN (18;24;72) = 72.29. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM Câu 5. (2đ) O D B A C x Vì A nằm giữa B và C nên BA +AC = BC BA +AC =4 (1) Lâp. luân B nằm giữa A và D. Theo gt OD < OA D nằm giữa O và A. (0,5đ) Mà OD + DA = OA 2 + DA =5 DA =3 cm Ta có DB + BA = DA DB +BA =3 (2) (0,25đ) (1) –(2) AC – DB = 1 (3) (0,25đ) theo đề ra : AC = 2BD thay và (3) Ta có 2BD – BD = 1 BD = 1 (0,25đ) AC = 2BD AC = 2 cm (0,25đ) ------------------------------------------------------------- ĐỀ SỐ 16 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (2 điểm) Cho 2 tập hợp A = n N / n (n + 1) ≤12. B = x Z / x < 3. a. Tìm giao của 2 tập hợp. b. có bao nhiêu tích ab (với a A; b B) được tạo thành, cho biết những tích là ước của 6. Câu 2: ( 3 điểm). a. Cho C = 3 + 32 + 33 + 34 ………+ 3100 chứng tỏ C chia hết cho 40. b. Cho các số 0; 1; 3; 5; 7; 9. Hỏi có thể thiết lập được bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 5 từ sáu chữ số đã cho. Câu 3: (3 điểm). Tính tuổi của anh và em biết rằng 5/8 tuổi anh hơn 3/4 tuổi em là 2 năm và 1/2 tuổi anh hơn 3/8 tuổi em là 7 năm. Câu 4: (2 điểm). a. Cho góc xoy có số đo 1000 . Vẽ tia oz sao cho góc zoy = 350 . Tính góc xoz trong từng trường hợp. b. Diễn tả trung điểm M của đoạn thẳng AB bằng các cách khác nhau. ĐÁP ÁN Câu 1: Liệt kê các phần từ của 2 tập hợp a. A = 0, 1, 2, 3 B = - 2, -1, 0, 1, 2, 0,5 điểm A ∩ B = 0, 1, 2, 0,5 điểm. b. Có 20 tích được tạo thành -2 -1 0 1 2 0 0 0 0 0 0 1 -2 -1 0 1 2 2 -4 -2 0 2 4 3 -6 -3 0 3 630. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM Những tích là ước của 6: ±1;1. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM TUYỂN TẬP 100 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6 (Tài liệu lưu hành nội bộ) BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6 Liên hệ đặt mua tài liệu: Thầy Thích Tel: 0919.281.916 Email: doanthich@gmail.com Website: www.ToanIQ.com2. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM ĐỀ SỐ 1 Bài 1: Tìm số tự nhiên có 3 chữ số abc, biết rằng: acb 2 và 495 cbaabc . Bài 2: a)Tính nhanh: 1979.19781979.1980 195821.19801979.1978 b)Rút gọn: 2 11 2 2 6 2 12 4 2 3 5 .6 .16 6 .12 .15 2.6 .10 81 .960 Bài 3: Tìm số tự nhiên n để phân số 43 996 n n a)Có giá trị là số tù nhiên. b)Là phân số tối giản. Bài 4: Cho 2 3 4 1 12 1 2 3 11 ... ... 5 5 5 5 5n n A với n N. Chứng minh rằng 16 1 A Bài 5: Trên đường thẳng xx’ lấy một điểm O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xx’ vẽ 3 tia Oy, Ot, Oz sao cho: Góc x’Oy = 400 ; xOt = 970 ; xOz = 540 . a) Chứng minh tia Ot nằm giữa hai tia Oy và Oz. b) Chứng minh tia Ot là tia phân giác của góc zOy. HƯỚNG DẪN Bài 1: Ta có: 599:495495999999 10100101001010010100 cacaca abccbaabccbacbaabc Vì acb 2 và 0 ≤ b ≤ 9 mà a - c = 5. Nên ta có: Với a = 9 c = 4 và b2 = 9.4 = 36 b = 6 (Nhận) Với a = 8 c = 3 và b2 = 8.3 = 24 không có giá trị nào của b. Với a = 7 c = 2 và b2 = 7.2 = 14 không có giá trị nào của b. Với a = 6 c = 1 và b2 = 6.1 = 6 không có giá trị nào của b . Bài 2: a) 1000 2.1979 2000.1979 2.1979 1211978.1979 2.1979 195821211978.1979 19781980.1979 19582121.19791979.1978 1979.19781979.1980 195821.19801979.1978 b)3. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM 1440 101 12.120 596 12.15.8 53.32 12.3.5.2 53.2 23.5.3.5.2 53.2.2.3.5 5.2.33.5.2 5.3.23.2.5 5.3.2.35.2.3.2.2 5.3.3.2.3.22.3.2.5 960.8110.6.2 15.12.616.6.5 3 5 11317 514102 3181112417 3101411192 3624412 262224112 32412 2622112 Bài 3: Đặt A = 43 91 2 43 91 43 432 43 91432 43 9186 43 996 nnn n n n n n n n a) Để A là số tù nhiên thì 91⋮ 3n + 4 ⋮ 3n + 4 là ước của 91 hay 3n + 4 thuộc {1; 7; 13; 91}. Với 3n + 4 = 1 n = -1 Loại vì n là số tù nhiên. Với 3n + 4 = 7 n = 1 Nhận A = 2 + 13 = 15. Với 3n + 4 = 13 n = 3 Nhận A = 2 + 7 = 9. Với 3n + 4 = 91 n = 29 Nhận A = 2 + 1 = 3. b) Để A là phân số tối giản thì 91 không chia hết 3n + 4 hay 3n + 4 không là ước của 91 Suy ra 3n + 4 không chia hết cho ước nguyên tố của 91. Từ đó suy ra: 3n + 4 không chia hết cho 7 suy ra n ≠ 7k +1. 3n + 4 không chia hết cho 13 suy ra n ≠ 13m + 3. Bài 4: Xét 2 3 11 1 2 3 11 5 ... ... 5 5 5 5 5n n A Suy ra: 2 3 11 2 3 4 1 12 2 3 11 12 12 1 2 3 11 1 2 3 11 4 5 ... ... ... ... 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 11 4 ... ... 5 5 5 5 5 5 11 4 5 n n n n n A A A A A B Với biểu thức:4. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM 16 1 5 49 1 16 1 5 495 16 1 5.4 4455 5 11 5.4 15 4 1212 12 12 12 1211 11 AA Bài 5: Hình vẽ a)Theo đề bài ta có góc x’Ox = 1800 mà góc x’Oy và góc yOx kề bù. Mà góc x’Oy = 400 ⇒ góc yOx = 1800 - 400 = 1400 Suy ra: góc xOt < góc xOy hay tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy. Lại có: góc xOz < góc xOt hay tia Oz nằm giữa hai tia Ot và Ox. Vậy tia Ot nằm giữa hai tia Oz và Oy. b)Theo câu a ta có tia Ot nằm giữa hai tia Oz và Oy ⇒ Góc zOt + góc tOy = góc zOy. Vì tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy ⇒ Góc xOt + góc tOy = góc xOy hay góc tOy = 430 ( vì góc xOt = 970 và góc xOy = 1400 ). Vì tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot ⇒ Góc xOz + góc zOt = góc xOt hay góc zOt = 430 ( vì góc xOt = 970 và góc xOy = 540 ). Suy ra góc tOy = góc zOt = 430 . Vậy tia Ot là tia phân giác của góc zOy x' O x z t y 970 540 400 2 3 11 2 3 1 10 2 3 10 2 3 11 11 11 11 11 11 1 1 1 1 1 ... ... 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 5 1 ... ... 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 5 1 ... ... ... 5 5 5 5 5 5 5 5 5 1 5 1 5 1 4 1 5 5 4.5 n n n B B B B B B B 5. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM ĐỀ SỐ 2 Thời gian làm bài 120 phút Câu1: a. Tìm các số tự nhiên x, y. sao cho (2x+1)(y-5)=12 b.Tìm số tự nhiên sao cho 4n-5 chia hết cho 2n-1 c. Tìm tất cả các số B= 62xy427, biết rằng số B chia hết cho 99 Câu 2. a. chứng tỏ rằng 230 112 n n là phân số tối giản. b. Chứng minh rằng : 2 2 1 + 2 3 1 + 2 4 1 +...+ 2 100 1 <1 Câu3: Một bác nông dân mang cam đi bán. Lần thứ nhất bán 1/2số cam và 1/2 quả; Lần thứ 2 bán 1/3 số cam còn lạivà 1/3 quả ; Lần thứ 3 bán 1/4số cam còn lại và 3/4 quả. Cuối cung còn lại 24 quả . Hỏi số cam bác nông dân đã mang đi bán . Câu 4: Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng. ĐÁP ÁN Câu1: a.(1đ): Ta có 2x+1: y-5 Là ước của 12 12= 1.12=2.6=3.4 (0,25đ) do 2x+1 lẻ => 2x+1 =1 hoặc 2x+1=3 (0,25đ) 2x+1=1 => x=0; y-5=12 => y=17 hoặc 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 (0,25đ) vậy (x,y) = (0,17); (1,9) (0,25đ) b.(1đ) Ta có 4n-5 = 2( 2n-1)-3 (0,25đ) để 4n-5 chia hết cho2n-1 => 3 chia hết cho2n-1 (0,25đ) =>* 2n-1=1 => n=1 *2n-1=3=>n=2 (0,25đ) vậy n=1;2 (0,25đ) c. (1đ) Ta có 99=11.9 B chia hết cho 99 => B chia hết cho 11và B chia hết cho 99 (0,25đ) *B chia hết cho 9 => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hết cho 9 (x+y+3) chia hết cho 9=> x+y=6 hoặc x+y =15 B chia hết cho 11=> (7+4+x+6-2-2-y) chia hết cho11=> (13+x-y)chia hết cho 11 x-y=9 (loại) hoặc y-x=2 (0,25đ) y-x=2 và x+y=6 => y=4; x=2 (0,25đ) y-x=2 và x+y=15 (loại) vậy B=6224427 (0,25đ) Câu2: a. Gọi dlà ước chung của 12n+1và 30n+2 ta có 5(12n+1)-2(30n+2)=1 chia hết cho d (0,5đ) vậy d=1 nên 12n+1 và 30n+2 nguyên tố cùng nhau do đó 230 112 n n là phân số tối giản (0,5đ) b. Ta có 2 2 1 < 1.2 1 = 1 1 - 2 1 2 3 1 < 3.2 1 = 2 1 - 3 1 ...6. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM 2 100 1 < 100.99 1 = 99 1 - 100 1 (0,5đ) Vậy 2 2 1 + 2 3 1 +...+ 2 100 1 < 1 1 - 2 1 + 2 1 - 3 1 + ...+ 99 1 - 100 1 2 2 1 + 2 3 1 +...+ 2 100 1 <1- 100 1 = 100 99 <1 (0,5đ) Câu 3.Số cam còn lại sau lần bán thứ 2 là : (24+3/4): 3/3 =33(quả) (1đ) Số cam còn lại sau lần bán thứ nhất . (33+1/3) : 2/3 =50 (quả) (1đ) Số cam bác nông dân mang đi bán . (50+1/2) : 1/2 =1001 ( quả) (1đ) Câu 4(1đ) . Mỗi đường thẳng cắt 100 đường tẳng còn lại tạo nên 100 giao điểm . có 101 đường thẳng nên có 101.100 giao điểm . nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần nên chỉ có 101.100:2= 5050 ( giao điểm) ĐỀ SỐ 3 Thời gian làm bài: 120’ Bài 1:(1,5đ) Tìm x a) 5x = 125; b) 32x = 81 ; c) 52x-3 – 2.52 = 52 .3 Bài 2: (1,5đ) Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng: a 5 5 5a Bài 3: (1,5đ) Cho a là một số nguyên. Chứng minh rằng: a. Nếu a dương thì số liền sau a cũng dương. b. Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm. c. Có thể kết luận gì về số liền trước của một số dương và số liền sau của một số âm? Bài 4: (2đ) Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kỳ là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 31 số đó là số dương. Bài 5: (2đ) Cho các số tự nhiên từ 1 đến 11 được viết theo thứ tự tuỳ ý sau đó đem cộng mỗi số với số chỉ thứ tự của nó ta được một tổng. Chứng minh rằng trong các tổng nhận được, bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10. Bài 6: (1,5đ) Cho tia Ox. Trên hai nữa mặt phẳng đối nhău có bờ là Ox. Vẽ hai tia Oy và Oz sao cho góc xOy và xOz bắng 1200. Chứng minh rằng: a. Góc xOy = góc xOz = góc yOz b. Tia đối của mỗi tia Ox, Oy, Oz là phân giác của góc hợp bởi hai tia còn lại ĐÁP ÁN7. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM Bài 1 (1,5đ) a).5x = 125 5x = 53 => x= 3 b) 32x = 81 => 32x = 34 => 2x = 4 => x = 2 c). 52x-3 – 2.52 = 52 .3 52x : 53 = 52 .3 + 2.52 52x : 53 = 52 .5 52x = 52 .5.53 52x = 56 => 2x = 6 => x=3 Bài 2. Vì a là một số tự nhiên với mọi a Z nên từ a < 5 ta => a = {0,1,2,3,4}. Nghĩa là a ={0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4}. Biểu diễn trên trục số cácc số này đều lớn hơn -5 và nhỏ hơn 5 do đó -5<a<5. Bài 3. a)Nếu a dương thì số liền sau cũng dương. Ta có: Nếu a dương thì a>0 số liền sau a lớn hơn a nên cũng lớn hơn 0 nên là số dương b)Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm. Ta có: Nếu a âm thì a<0 số liền trước a nhỏ hơn a nên cũng nhỏ hơn 0 nên là số âm. Bài 4 (2đ). Trong các số đã cho ít nhất có 1 số dương vì nếu trái lại tất cả đều là số âm thì tổng của 5 số bất kỳ trong chúng sẽ là số âm trái với giả thiết. Tách riêng số dương đó còn 30 số chi làm 6 nhóm. Theo đề bài tổng các số của mỗi nhóm đều là số dương nên tổng của 6 nhóm đều là số dương và do đó tổng của 31 số đã cho đều là số dương. Bài 5 (2đ): Vì có 11 tổng mà chỉ có thể có 10 chữ số tận cùng đều là các số từ 0 , 1 ,2, …., 9 nên luôn tìm được hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau nên hiệu của chúng là một số nguyên có tận cùng là 0 và là số chia hết cho 10. Bài 6 (1,5đ). Ta có: góc x’Oy = 60o , góc x'Oz = 600 và tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz nên góc yOz = yOx' + x'Oz = 120o . Vậy Góc xOy = góc xOz = góc yOz Do tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz và góc x'Oy = góc x'Oz nên Ox’ là tia phân giác của góc hợp bởi hai tia Oy, Oz. Tương tự tia Oy’ (tia đối của Oy) và tia Oz’ (tia đối của tia Oz) là phân giác của góc xOz và xOy ĐỀ SỐ 4 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1. Tính: a. A = 4 + 2 2 + 2 3 + 2 4 +. . . + 2 20 b. tìm x biết: ( x + 1) + ( x + 2) + . . . + ( x + 100) = 5750. Câu 2. a. Chứng minh rằng nếu: egcdab 11 thì degabc 11. b. Chứng minh rằng: 10 28 + 8 72. Câu 3.8. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM Hai lớp 6A;6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Lớp 6A có 1 bạn thu được 26 Kg còn lại mỗi bạn thu được 11 Kg ; Lớp 6B có 1 bạn thu được 25 Kg còn lại mỗi bạn thu được 10 Kg . Tính số học sinh mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng 200Kg đến 300 Kg. Câu 4. Tìm 3 số có tổng bằng 210, biết rằng 7 6 số thứ nhất bằng 11 9 số thứ 2 và bằng 3 2 số thứ 3. Câu 5. Bốn điểm A,B,C,Dkhông nằm trên đường thẳng a . Chứng tỏ rằng đường thẳng a hoặc không cắt, hoặc cắt ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, BD, CD. ĐÁP ÁN Câu 1. a). 2A = 8 + 2 3 + 2 4 + . . . + 2 21 . => 2A – A = 2 21 +8 – ( 4 + 2 2 ) + (2 3 – 2 3 ) +. . . + (2 20 – 2 20 ). = 2 21 . b). (x + 1) + ( x + 2 ) + . . . . . . . . + (x + 100) = 5750 => x + 1 + x + 2 + x + 3 + . . . . . . .. . .. . . . + x + 100 = 5750 => ( 1 + 2 + 3 + . . . + 100) + ( x + x + x . . . . . . . + x ) = 5750 101 x 50 + 100 x = 5750 100 x + 5050 = 5750 100 x = 5750 – 5050 100 x = 700 x = 7 Câu 2. a) egcdababc 10010000deg = 9999 cdab 99 + egcdab 11. b). 10 28 + 8 9.8 ta có 10 28 + 8 8 (vì có số tận cùng là 008) nên 10 28 + 8 9.8 vậy 10 28 + 8 72 Câu 3. Gọi số giấy mỗi lớp thu được là x (Kg) thì ( x-26) 11 và ( x-25) 10. Do đó (x-15) BC(10;11) và 200 x 300 => x-15 = 220 => x = 235. Số học sinh lớp 6A là: (235 – 26) : 11 + 1 = 20. hs Số học sinh lớp 6B là: (235 – 25) : 10 + 1 = 22 hs. Câu 4. Số thứ nhất bằng: 11 9 : 7 6 = 22 21 (số thứ hai) Số thứ ba bằng: 11 9 : 3 2 = 22 27 (số thứ hai) Tổng của 3 số bằng 22 272122 (số thứ hai) = 22 70 (số thứ hai) Số thứ hai là : 210 : 22 70 = 66 ; số thứ nhất là: 22 21 . 66 = 63 ; số thứ 3 là: 22 27 .66 = 81 Câu5: Đường thẳng a chia mặt phẳng ra hai nửa mặt phẳng Xét 3 trường hợp a). Nếu cả 4 điểm A, B, CD thuộc cùng một nửa mặt phẳng thì a không cắt đoạn thẳng nào. b). Nếu có 1 điểm ( Chẳng hạn điểm A thuộc nửa mặt phẳng) ba điểm B, C, D thuộc nửa mặt phẳng đối thì đường thẳng a cắt ba đoạn thẳng AB, AC, AD9. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM c). Nếu có 2 điểm chẳng hạn (A và B) thuộc một nửa mặt phẳng hai điểm kia (C và D) thuộc mỗi mặt phẳng đối thì a cắt bốn đoạn thẳng AC, AD, BC, BD ĐỀ SỐ 5 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1 (3đ): a) So sánh: 222333 và 333222 b) Tìm các chữ số x và y để số 281 yx chia hết cho 36 c) Tìm số tự nhiên a biết 1960 và 2002 chia cho a có cùng số dư là 28 Bài 2 (2đ): Cho : S = 30 + 32 + 34 + 36 + ... + 32002 a) Tính S b) Chứng minh S 7 Bài 3 (2đ): Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng khi chia số này cho 29 dư 5 và chia cho 31 dư 28 Bài 4 (3đ): Cho góc AOB = 1350 . C là một điểm nằm trong góc AOB biết góc BOC = 900 a) Tính góc AOC b) Gọi OD là tia đối của tia OC. So sánh hai góc AOD và BOD HƯỚNG DẪN Bài 1 (3đ): a) Ta có 222333 = (2.111)3.111 = 8111 .(111111 )2 .111111 (0,5đ) 333222 = (3.111)2.111 = 9111 .(111111 )2 (0,5đ) Suy ra: 222333 > 333222 b) Để số 281 yx 36 ( 0 x, y 9 , x, y N ) 42 9)281( y yx (0,5đ) 9;7;5;3;142 yy (x+y+2) 9 => x+y = 7 hoặc x+y = 16 => x = 7;9;0;2;4;6 (0,25đ) Vậy ta có các số: 16812; 14832; 12852; 10872; 19872; 17892 (0,25đ) c) Ta có a > 28 => ( 2002 - 1960 ) a => 42 a (0,5đ) => a = 42 (0,5đ) Bài 2 (2đ): a) Ta có 32 S = 32 + 34 + ... + 32002 + 32004 (0,5đ) Suy ra: 8S = 32004 - 1 => S = 8 132004 (0,5đ) b) S = (30 + 32 + 34 ) + 36 (30 + 32 + 34 ) + ... + 31998 (30 + 32 + 34 ) = = (30 + 32 + 34 )( 1 + 36 + ... + 31998 ) = 91( 1 + 36 + ... + 31998 ) (0,75đ) suy ra: S 7 (0,25đ) Bài 3 (2đ): Gọi số cần tìm là: a Ta có a = 29q + 5 = 31p +28 (0,5đ) <=> 29(q - p) = 2p + 23 Vì 2p + 23 lẻ nên( q - p) lẻ => q - p 1. (0,75đ) Vì a nhỏ nhất hay q - p = 1 => p = 3;10. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM => a = 121 (0,5đ) Vậy số cần tìm là 121 (0,25đ) Bài 4 (3đ): a) Theo giả thiết C nằm trong góc AOB nên tia OC nằm giữa hai tia OB và OA => góc AOC + góc BOC = góc AOB => góc AOC = góc AOB - góc BOC => góc AOC = 1350 - 900 = 450 b) Vì OD là tia đối của tia OC nên C, O, D thẳng hàng, Do đó góc DOA + góc AOC = 1800 (hai góc kề bù) => góc AOD = 1800 - góc AOC = 1800 - 450 = 1350 góc BOD = 1800 - 900 = 900 Vậy góc AOD > góc BOD ------------------------------------------------ ĐỀ SỐ 6 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1( 8 điểm 1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a) 571999 b) 931999 2. Cho A= 9999931999 - 5555571997 . Chứng minh rằng A chia hết cho 5. 3 . Cho phân số b a (0 < a < b) cùng thêm m đơn vị (m > 0) vào tử và mẫu thì phân số mới lớn hơn hay bé hơn b a ? 4. Cho số 16*4*710*155 có 12 chữ số . chứng minh rằng nếu thay các dấu * bởi các chưc số khác nhau trong ba chữ số 1,2,3 một cách tuỳ thì số đó luôn chia hết cho 396. 5. chứng minh rằng: a) 3 1 64 1 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1 ; b) 16 3 3 100 3 99 ... 3 4 3 3 3 2 3 1 10099432 Bài 2: (2 điểm ) Trên tia Ox xác định các điểm A và B sao cho OA= a(cm), OB=b (cm) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b< a b) Xác định điểm M trên tia Ox sao cho OM = 2 1 (a+b). ĐÁP ÁN Bài 1: 1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: ( 1 điểm ) Để tìm chữ số tận cùng của các số chỉ cần xét chữ số tận cùng của từng số : a) 571999 ta xét 71999 Ta có: 71999 = (74 )499 .73 = 2041499 . 343 Suy ra chữ số tận cùng bằng 3 ( 0,25 điểm ) Vậy số 571999 có chữ số tận cùng là : 311. Liên hệ đặt mua tài liệu – Tel: 0919.281.916 . TOANIQ.COM b) 931999 ta xét 31999 Ta có: 31999 = (34 )499 . 33 = 81499 .27 Suy ra chữ...