Question

Chứng minh rằng 2^9+2^99 chia hết cho 100

toán dành cho học sinh có trình độ giải đây

Answer 1

Cách 1: ta có:
A= 2^9 +2^99=2^2(2^7 + 2^97)=4((2^7 + 2^97) đồng dư 0 (mod 4).
2^5 = 32 đồng 7 (mod 25) 
=> 2^10 đồng dư 7^2 (mod 25) đồng dư -1(mod 25).
mặt khác:
A= 2^9 +2^99 =2^9(1+2^90) 
mà (1+2^90) = 1 + (2^10)^9 đồng dư 1 -1=0 (mod 25)
=> 2^9 +2^99 đồng dư 0 (mod 25)
BSCNN của 4 và 25 =100
=> A đồng dư 0 (mod 100)
hay A chia hết cho 100.

Answer 2

Cách 2: P = 2^9 + 2^99 = 2^9 + (2^11)^9 = (2+2^11)(2^8 - 2^7.2^11 + ..-2.2^77 + 2^88)

Nhân tử thứ nhất 2 + 2^11 = 2050
Nhân tử thứ hai là một số chẳn = 2A (vì là tổng hiệu của các bội của 2)

=> P = 2050.2A = 4100.A chia hết cho 100

Answer 3

Cách 3: Một số có hai chữ số tận cùng bằng 25 thì chia hết cho 25. Một số chia hết cho 4 và 25 thì chia hết cho 100( 4 và 25 nguyên tố cùng nhau)
Mặt khác: (2^10)+1 chia hết cho 25 và 2^9 +2^99 chia hết cho 4
Ta có: 2^9-2^99= (2^9+2^19)-(2^19+2^29)+(2^29+2^39)-....+… - (2^79+2^89)+ (2^89+2^99) =(1+2^10)*2^9-(1+2^10)*2^19+.....- 
= (1+2^10)*(2^9-2^19+2^29-2^39+2^49-2^59+2…
Suy ra 2^9+2^99 chia hết cho 25
vậy 2^9+2^99 chia hết cho 100

Answer 4

Quá khó