Ta có : \(43^{43}-13^{13}>1\)
và \(43^{43}-13^{13}\inℤ\)
\(\Rightarrow\)Để chứng minh \(-0,3.\left(43^{43}-13^{13}\right)\)là số nguyên
Ta chứng minh \(-3.\frac{43^{43}-13^{13}}{10}\inℤ\)
Tức là \(\frac{43^{43}-13^{13}}{10}\inℤ\)
hay \(43^{43}-13^{13}⋮10\)
Thật vậy :
Ta có : \(43\equiv3\left(mod10\right)\)
\(\Rightarrow43^{43}\equiv3^{43}\left(mod10\right)\left(1\right)\)
Ta có tiếp : \(3^2=9\equiv-1\left(mod10\right)\)
\(\Rightarrow3^{42}\equiv\left(-1\right)^{42}\equiv1\left(mod10\right)\)
\(\Rightarrow3^{42}.3\equiv1.3\equiv3\left(mod10\right)\)
hay \(3^{43}\equiv3\left(mod10\right)\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\): \(\Rightarrow43^{43}\equiv3\left(mod10\right)\)
Chứng minh tương tự , ta được : \(13^{13}\equiv3\left(mod10\right)\)
\(\Rightarrow43^{43}-13^{13}\equiv3-3\equiv0\left(mod10\right)\)
\(\Rightarrow43^{43}-13^{13}⋮10\)
\(\Rightarrowđpcm\)