Ta có \(P=n^2+n+7=n\left(n+1\right)+7\). Ta thấy \(n,n+1\) là 2 số tự nhiên liên tiếp nên \(n\left(n+1\right)⋮2\) \(\Rightarrow P=n\left(n+1\right)+7⋮̸2\)
Bây giờ ta sẽ chứng minh \(P⋮̸5\). Thật vậy, giả sử tồn tại n để \(P⋮5\) . Khi đó vì P lẻ nên P có chữ số tận cùng là 5.
\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\) có chữ số tận cùng là 3, điều này rõ ràng vô lí vì \(n\left(n+1\right)⋮2\). Vậy điều giả sử là sai \(\Rightarrow P⋮̸5\) (đpcm)
Chỗ này 8 mới đúng nhé. Mình vẫn phải làm thêm 1 bước nữa.
Ta thấy \(n^2\) chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 8, 9. Ta kí hiệu \(f\left(a\right)\) là chữ số tận cùng của số tự nhiên a.
Khi đó nếu \(f\left(n^2\right)=0\) thì \(f\left(n\right)=0\), do đó \(f\left(P\right)=0\), loại.
Nếu \(f\left(n^2\right)=1\) thì \(\left[{}\begin{matrix}f\left(n\right)=1\\f\left(n\right)=9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(P\right)=2\\f\left(P\right)=0\end{matrix}\right.\), loại.
Nếu \(f\left(n^2\right)=4\) thì \(\left[{}\begin{matrix}f\left(n\right)=2\\f\left(n\right)=8\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(P\right)=6\\f\left(P\right)=2\end{matrix}\right.\), loại.
Nếu \(f\left(n^2\right)=5\) thì \(f\left(n\right)=5\) nên \(f\left(P\right)=0\), loại.
Nếu \(f\left(n^2\right)=6\) thì \(\left[{}\begin{matrix}f\left(n\right)=4\\f\left(n\right)=6\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(P\right)=0\\f\left(P\right)=2\end{matrix}\right.\), loại.
Nếu \(f\left(n^2\right)=9\) thì \(\left[{}\begin{matrix}f\left(n\right)=3\\f\left(n\right)=7\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(P\right)=2\\f\left(P\right)=6\end{matrix}\right.\), loại.
Vậy với mọi n thì chữ số tận cùng của P không thể là 8, dẫn tới vô lí. Ta có đpcm.