Lời giải:
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$\frac{4}{m+n}\leq \frac{m+n}{mn}$
$\Leftrightarrow 4mn\leq (m+n)^2$
$\Leftrightarrow (m+n)^2-4mn\geq 0$
$\Leftrightarrow (m-n)^2\geq 0$ (luôn đúng với mọi $m,n>0$)
Do đó ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $m=n>0$
Chứng minh \(\frac{4}{m+n}\)≥\(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\) với m,n là các số dương
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{a+b^2}+\frac{b}{b+c^2}+\frac{c}{c+a^2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Mọi người giúp mình câu này nha.Cảm ơn nhiều!
cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1.chứng minh rằng \(\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\le\frac{1}{4}\)
Dạ mọi người giúp em bài Toán này với ạ! Dạ em cảm ơn ạ
Cho ba số a,b,c dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{a}{c}+\frac{3}{a+b+c}\ge\:4\)
Cho M, N, P là các số khác 0và M+N+P\(\ne\)0 thỏa mãn \(\frac{1}{M}+\frac{1}{N}+\frac{1}{P}=\frac{1}{M+N+P}\). Chứng minh: \(\frac{1}{M^{2017}}+\frac{1}{N^{2017}}+\frac{1}{P^{2017}}=\frac{1}{M^{2017}+N^{2017}+P^{2017}}\)
Chứng mình rằng với mọi số nguyên dương n, ta có:
\(\frac{1}{2\sqrt{2}+1\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}}< 1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:\(\frac{a}{a+b^2}+\frac{b}{b+c^2}+\frac{c}{c+a^2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn \(a+b=\frac{5}{4}\). Chứng minh rằng \(\frac{4}{a}+\frac{1}{4b}\ge5\). Đẳng thức xảy ra khi nào?
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=4
Chứng minh rằng \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}\ge1\)