Question

Chứng minh:

\(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=9\)

Answer 1

\(VT=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+...+\frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{100-99}\)\(=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}=-1+\sqrt{100}=-1+10=9=VP\)

Answer 2

Xét bài toán tổng quát sau:

Chứng minh:\(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-1\) (*)

Thật vậy,xét số hạng tổng quát \(\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}\left(k\in\mathbb{Z}^+\right)=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\)

Suy ra \(VT=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+....+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\sqrt{n+1}-1\)

Vậy (*) đúng. Áp dụng kết quả (*) ta có đpcm.