(1 + a^2 ) + 1/(1+b^2) \(\ge\) 2/( 1+ab)
<=> (1+ b^2)(1+ab) + (1+a^2)(1 +ab) \(\ge\) 2(1+a^2)(1+ b^2)
<=>1 + b^2 +ab + ab^3 + 1 +a^2 +ab + a^3b - 2(1 +a^2 +b^2 +a^2b^2) \(\ge\) 0
<=> ab(a^2 - 2ab +b^2) - (a^2 +2ab +b^2) \(\ge\) 0
<=> (ab -1)(a-b)^2 \(\ge\) 0
Điều này hiển nhiên đúng do ab \(\ge\) 1; (a-b)^2 \(\ge\) 0
Dấu "=" khi và chỉ khi a =b =1
cho a>1, b>1. chứng minh:
\(\frac{6}{ab}+\sqrt{3ab+4}\ge\frac{11}{2}\)
Nhờ mọi người giải dùm
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn \(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}=1\)
Chứng minh rằng \(ab+bc+ac\ge\frac{abc}{3}\)
Cho a, b, c là các số dương thỏa abc=1. Chứng minh:
\(\frac{1}{a^2+2b^{ }^2+3}+\frac{1}{b^{ }^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}\)
Chứng minh bất đẳng thức sau với x,y,z dương \(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)
Cho tam giác ABC vuông ở A , đường cao AH , BC= 100 , AH =48
a, Tính AB , AC
b, Từ B vẽ tia BX sao cho góc ABx = góc ACB . BX cắt AC tại D
Chứng Minh\(\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{BD^2}+\frac{1}{BC^2}\)
Với a dương,chứng minh
a+\(\frac{1}{a}\)\(\ge\)2
Bài 1 : cho tam giác ABC có góc A và B nhọn , các đg trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau tại G . CMR :\(cotB+cotC\ge\frac{2}{3}\)
Bài 2 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn có BC=a,CA=b,AB=c. cmr
a.\(a^2=b^2+c^2-2bc.cosA\)
b.\(sin\frac{A}{2}\le\frac{a}{b+c}\)
c.\(sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}\le\frac{1}{8}\)
các bạn giúp mình với:
cho a, b, c lần lượt là độ dài cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC.
a) chứng minh \(\sin\frac{\widehat{A}}{2}\le\frac{a}{2\sqrt{bc}}\)
b) chứng minh \(\sin\frac{\widehat{A}}{2}.\sin\frac{\widehat{B}}{2}.\sin\frac{\widehat{C}}{2}\le\frac{1}{8}\)
c) đường cao AD, BE cắt nhau ở h. chứng minh \(AH.HD\le\frac{BC^2}{4}\)
Cho a, b, c dương và \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{3}{2}\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\(P=\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ca+a^2}}\)