Question

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

1 + 1 2 x - x 2 8 < 1 + x < 1 + 1 2 x

với 0 < x < + ∞

Answer 1

Xét hàm số h(x) trên [0; + ∞ )

Dấu “=” xẩy ra chỉ tại x = 0 nên h(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; + ∞ ).

Vì h(x) = 0 nên

Hay

Xét hàm số trên f(x) trên [0; + ∞ );

Vì g(0) = 0 và g(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; + ∞ ) nên g(x) ≥ 0, tức là f′(x)  ≥ 0 trên khoảng đó và vì dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 nên f(x) đồng biến trên nửa khoảng .

Mặt khác, ta có f(0) = 0 nên

Với mọi 0 < x < + ∞