Question

Chứng minh biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của x :\(\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\)

 

Answer 1

\(x^2+x+1=x^2+2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)

\(=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)( luôn dương ) (1 )

\(x^2-x+1=x^2-2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)

\(=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)( luôn dương ) ( 2 )

Từ ( 1 ) và  ( 2 ) => \(\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\ge\frac{3}{4}:\frac{3}{4}\ge1\)( luôn dương ) ( đpcm )

Answer 2

\(\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\)

=\(\frac{x^2+2.\frac{1}{2}.x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+1}{x^2-2.\frac{1}{2}.x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+1}\)

=\(\frac{\left(x+1\right)^2+\frac{3}{4}}{\left(x-1\right)^2+\frac{3}{4}}\)vì tử số và mẫu số luôn dương => với mọi x luôn dương

Answer 3

vừa nghĩ ra :

\(x^2\) luôn lớn hơn hoặc bằng x

=> \(x^2+x\) luôn lớn hơn hoặc bằng 0

=> \(x^2+x+1\)luôn lớn hơn hoặc bằng 1

=>  \(x^2+x+1\) luôn dương (1)

\(x^2-x\)luôn lớn hơn hoặc bằng = 0

=> \(x^2-x+1\) luôn lớn hơn hoặc bằng 1

=> \(x^2-x+1\) luôn dương (2)

Từ  (1) và (2) => đpcm

=

Answer 4

bổ sung với mọi x vào cuối mỗi câu