Question

Chứng minh BĐT sau: \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{8}{\left(x+y\right)^2}\) với x khác y khác 0

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{4}{x^2+y^2}=\frac{8}{2x^2+2y^2}\)

Mặt khác:

\(2x^2+2y^2\ge x^2+y^2+2xy=\left(x+y\right)^2\)

=>\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{8}{\left(x+y\right)^2}\)

Ai thấy mình làm đúng thì tích nha.Ai tích mình mình tích lại

Answer 2

Khánh làm sai rồi
\(2x^2+2y^2\ge x^2+2xy+y^2\Rightarrow\frac{8}{2x^2+2y^2}\le\frac{8}{\left(x+y\right)^2}\)

Answer 3

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+2xy+y^2}{x^2}+\frac{x^2+2xy+y^2}{y^2}\ge8\)
\(\Leftrightarrow\frac{2y}{x}+\frac{2x}{y}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge6\)-> là bđt đúng => đpcm
 

Answer 4

@Mạnh: đề không cho x, y không âm nên không áp dụng Cauchy được