Question

Chứng minh bất đẳng thức: \(a^3+b^3\le a^4+b^4vớia+b\ge2\)

Answer 1

\(a^3+b^3\le a^4+b^4\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\le2\left(a^4+b^4\right)\) ( vì \(a+b\ge2\) )

\(\Leftrightarrow a^4+ab^3+a^3b+b^4\le2a^4+2b^4\)

\(\Leftrightarrow ab^3+a^3b\le a^4+b^4\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4-a^3b\right)+\left(b^4-ab^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (1)

Ta thấy \(a^2+ab+b^2=\left(a^2+ab+\frac{1}{4}b^2\right)+\frac{3}{4}b^2+\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2+\frac{3}{4}b^2\ge0\forall ab\)

Nên (1) luôn đúng với mọi a;b

Vậy \(a^3+b^3\le a^4+b^4\)