Ta có: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}=\frac{a^2+b^2}{ab}\)
Áp dụng bất đẳng thức cô-si, ta có:
\(a^2+b^2\ge2.\sqrt{a^2.b^2}=>a^2+b^2\ge2ab=>\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2=>\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b
=>ĐPCM
Bài làm:
Ta thấy bài này có 3 trường hợp:
TH1: Nếu a=b thì \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a}{a}+\frac{a}{a}=1+1=2\)
TH2: Nếu a > b thì có thể đặt a=b+m (m thuộc N*)
ta có: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{b+m}{b}+\frac{b}{b+m}=\frac{b}{b}+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}\)
= \(1+\frac{m}{n}+\frac{b}{b+m}>1+\frac{m}{b+m}+\frac{b}{b+m}\)
=\(1+\frac{m+b}{b+m}=2\)
TH3: Nếu a < b thì xét tương tự như trên ta cũng có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>2\)
vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\) lớn hơn hoặc =2 với mọi a, b thuộc N*
Nhân ab vào 2 vế,ta đc:
\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right).ab\ge2ab\)
\(\Rightarrow\frac{a^2b}{b}+\frac{b^2a}{a}\ge2ab\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
BĐT đúng với mọi a;b
=>đpcm