Ta thấy: 7 đồng dư với 1(mod 2)
=>77 đồng dư với 17(mod 2)
=>77 đồng dư với 1(mod 2)
=>77=2k+1
=>\(7^{7^7}=7^{2k+1}\)
7 đồng dư với 3(mod 4)
=>7 đồng dư với -1(mod 4)
=>72 đồng dư với (-1)2(mod 4)
=>72 đồng dư với 1(mod 4)
=>(72)k đồng dư với 1k(mod 4)
=>72k đồng dư với 1(mod 4)
=>72k.7 đồng dư với 1.7(mod 4)
=>72k+1 đồng dư với 7(mod 4)
=>72k+1 đồng dư với 3(mod 4)
=>72k+1=4m+3
=>\(7^{7^{7^7}}=7^{4m+3}\)
74=2401 đồng dư với 1(mod 10)
=>(74)m đồng dư với 1m(mod 10)
=>74m đồng dư với 1(mod 10)
=>74m.73 đồng dư với 1.73(mod 10)
=>74m+3 đồng dư với 343(mod 10)
=>74m+3 đồng dư với 3(mod 10)
=>\(7^{7^{7^7}}\) đồng dư với 3(mod 10)
Lại có: 7 đồng dư với 3(mod 4)
=>7 dồng dư với -1(mod 4)
=>77 dồng dư với (-1)7(mod 4)
=>77 dồng dư với -1(mod 4)
=>77 dồng dư với 3(mod 4)
=>77=4n+3
=>\(7^{7^7}=7^{4n+3}\)
74=2401 đồng dư với 1(mod 10)
=>(74)n đồng dư với 1n(mod 10)
=>74n đồng dư với 1(mod 10)
=>74n.73 đồng dư với 1.73(mod 10)
=>74n+3 đồng dư với 343(mod 10)
=>74n+3 đồng dư với 3(mod 10)
=>\(7^{7^7}\)đồng dư với 3(mod 10)
=>\(7^{7^{7^7}}-7^{7^7}\) đồng dư với 3-3(mod 10)
=>\(7^{7^{7^7}}-7^{7^7}\)đồng dư với 0(mod 10)
=>\(7^{7^{7^7}}-7^{7^7}\)chia hết cho 10