Question

Chứn minh rằng mọi số nguyên dương n thì:\(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\) chia hết cho 10

Answer 1

\(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\)

\(=\left(3^{n+2}+3^n\right)+\left(-2^{n+2}-2^n\right)\)

\(=3^n\left(3^2+1\right)-2^n\left(2^2+1\right)\)

\(=3^n.10-2^n.5\)

\(=3^n.10-2^{n-1}.10\)

\(=10\left(3^n-2^{n-1}\right)⋮10\)

Vậy 3ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺² + 3ⁿ - 2ⁿ chia hết cho 10

Answer 2

Ta có 3ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+3ⁿ-2ⁿ

=3ⁿ.9-2ⁿ.5+3ⁿ-2ⁿ

= 3ⁿ.(9+1)-2ⁿ.(4+1)

=3ⁿ.10-2ⁿ.5=3ⁿ.10-2^n-1.10

Do 3ⁿ.10 chia hết cho 10 với mọi số nguyên dương n

2^n-1.10 chia hết cho 10 với mọi số nguyên dương n

Nên 3ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+3ⁿ-2ⁿ chia hết cho 10 với mọi số nguyên dương n