Phần c đơn giản lắm :) Vừa nghĩ ra tiếp :
Ta có :
\(4.\left(S_{ABC}\right)^2=\left(2.S_{ABC}\right)^2\)\(\Rightarrow\left(AB.AC\right)^2=\left(AH.BC\right)^2\)
\(\Rightarrow AB^2.AC^2=AH^2.BC^2\)
Mà \(BC^2=AB^2+AC^2\)( Pythagores )
\(\Rightarrow AB^2.AC^2=AH^2\left(AB^2+AC^2\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{AB^2+BC^2}{AB^2.AC^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\)
Vậy...
Ngồi nháp rồi nghĩ ra phần a :) Sẽ cập nhật khi nghĩ được b , c
[ Tự vẽ hình ]
Áp dụng định lý Pythagores có :
\(AB^2+AC^2=BC^2\)\(AH^2=AC^2-HC^2=AB^2-BH^2\)\(\Rightarrow AH^2=\frac{AC^2-HC^2+AB^2-HB^2}{2}\)
\(=\frac{\left(AB^2+AC^2\right)-\left(HB^2+HC^2+2HB.HC\right)+2HB.HC}{2}\)
\(=\frac{BC^2-\left(HB+HC\right)^2+2HB.HC}{2}\)
\(=\frac{BC^2-BC^2+2HB.HC}{2}\)
\(=\frac{2HB.HC}{2}\)
\(=HB.HC\)
Vậy \(AH^2=HB.HC.\)
Ra lò phần b vừa nghĩ ra :))
Ta có :\(AB^2=BC^2-AC^2\)( Định lý Pythagores )
Lại có : \(HB.BC=\left(BC-HC\right).BC\)\(=BC^2-HC.BC=BC^2-\left(HC+HB\right).HC\)
\(=BC^2-HC^2-HB.HC\)
Tương tự phần a thì có \(HB.HC=AH^2\) và \(HC^2=AC^2-AH^2\)( Pythagores )
\(\Rightarrow HB.BC=BC^2-\left(AC^2-AH^2\right)-AH^2\)
\(=BC^2-AC^2+AH^2-AH^2=BC^2-AC^2=AB^2\)
\(\Rightarrow HB.BC=AB^2\)
Chứng minh tương tự sẽ có \(HC.BC=AC^2\)
\(HC.BC=\left(BC-HB\right).BC=BC^2-HB.BC\)
\(=BC^2-HB.\left(HB+HC\right)\)
\(=BC^2-HB^2-HB.HC\)
Có \(HB^2=AB^2-AH^2;HB.HC=AH^2\)
\(\Rightarrow HC.BC=BC^2-\left(AB^2-AH^2\right)-AH^2\)
\(=BC^2-AB^2+AH^2-AH^2=BC^2-AB^2=AC^2\)
Vậy ....
Câu c bạn làm gọn ghê ! Mình thấy uổng vì câu a bạn làm hơi dài,câu b bạn ko lợi dụng câu a cho lắm ! Mình giải câu a,b như sau :
a) Áp dụng định lí Pi-ta-go lần lượt với\(\Delta AHB,\Delta AHC,\Delta ABC\)vuông tại H,H và A,ta có :
AH2 + HB2 = AB2 ; AH2 + HC2 = AC2 mà AB2 + AC2 = BC2
=> 2AH2 + HB2 + HC2 = (HB + HC)2
2AH2 + HB2 + HC2 = HB2 + 2HB.HC + HC2
=> AH2 = HB.HC
b) Áp dụng cmt,ta có : BH.BC = BH.(HB.HC) = BH2 + BH.HC = BH2 + AH2 = AB2 (cm câu a)
=> HC.BC = BC2 - HB.BC = BC2 - AB2 = AC2 (cm câu a)