Haiz..........Bùi Tiến Phi , Biết vậy bạn nói sớm đi có phải tốt hơn không
======================================================
Xét : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\), Áp dụng BĐT Cauchy dạng engel , ta suy ra : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}\)=>\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\frac{1}{4}\ge\frac{1}{a+b}\)
Dấu ''='' xảy ra khi a=b
Ta có B = \(\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{x+2y+z}+\frac{z}{x+y+2z}\)
= \(\frac{x}{\left(x+y\right)+\left(z+z\right)}+\frac{y}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}\)+ \(\frac{z}{\left(x+z\right)+\left(z+y\right)}\)
Áp dụng BĐT vừa c.m vào , ta suy ra :
\(\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{z+x}\right)\ge\frac{x}{\left(x+y\right)+\left(z+x\right)}\). Dấu "="xảy ra ....
Tương tự \(\frac{1}{4}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}\right)\ge\frac{y}{x+2y+z}\). Dấu "="......
Và \(\frac{1}{4}\left(\frac{z}{z+x}+\frac{z}{y+z}\right)\ge\frac{z}{x+y+2z}\). Dấu "=".....
Cộng vế với vế , ta suy ra :
\(\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}+\frac{z}{y+z}\right)\) \(\ge M\)
Hay \(\frac{3}{4}\ge M\)
Dấu " =" xảy ra khi x=y=z
Mà x+y+z=3 => Max B = \(\frac{3}{4}\), tại x=y=z =1
===========================
nói tí , có vẻ hơi bị thừa dữ kiện : z+x+y = 3 , nếu ko có nó Max B vẫn luôn bằng \(\frac{3}{4}\)
\(\frac{x}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\)
Lầy Văn Lội , cái đó chỉ áp dụng khi x,y,z >0 thôi
lắm chuyện :v
\(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng )
Bạn xem lại đề có cho x,y,z không âm không nhé.
Bạn Lầy văn lội làm nhầm rồi nhé. Cái bạn đang dùng là bất đẳng thức cosi dạng engel. Mà dạng này chỉ sử dụng được với điều kiện là x, y > 0 thôi nhé. Đề bài không cho x, y > 0 nên không dùng được.
Để mình lấy ví dụ cho bạn thấy nha.
Theo bạn thì ta có:
\(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Nếu ta thay \(\hept{\begin{cases}x=-1\\y=-2\end{cases}}\) vào thì ta được
\(\frac{1}{-1-2}\le\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{-1}+\frac{1}{-2}\right)\)
\(\Leftrightarrow-\frac{1}{3}\le-\frac{3}{8}\) cái này là sai nhé.
Cái bài bạn cố gắng chứng minh là bạn đúng thì nó bị sai bản chất rồi. Lỗi sai ở đâu thì b thử tự nghiên cứu xem sao nhé.
Chào thân ái và quyết thắng!!!