Trước tiên ta chứng minh:
\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào bài toán ta được
\(\frac{1}{1+x^3+y^3}+\frac{1}{1+y^3+z^3}+\frac{1}{1+z^3+x^3}\le\frac{1}{1+xy\left(x+y\right)}+\frac{1}{1+yz\left(y+z\right)}+\frac{1}{1+zx\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{xyz}{xyz+xy\left(x+y\right)}+\frac{xyz}{xyz+yz\left(y+z\right)}+\frac{xyz}{xyz+zx\left(z+x\right)}=\frac{z}{z+x+y}+\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{y+z+x}=1\)
Áp dụng BĐT Cauchy - shwart dạng Engel ta có:
VT= (1+1+1)^2 / [2(x^3 + y^3 + z^3) +3]
=9/[2(x^3 + y^3 + z^3) +3]
mà x^3 + y^3 + z^3 >= 3abc = 3 (BĐT AM-GM)
=> VT>=9/9=1 (dpcm)