Question

cho x,y,z>0 thỏa \(xy+yz+xz\ge2xyz\)

tìm max (x-1)(y-1)(z-1)

Answer 1

Từ \(xy+yz+xz\ge2xyz\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge2\)

Nên áp dụng BĐT AM-GM ta có;

\(\dfrac{1}{x}\ge1-\dfrac{1}{y}+1-\dfrac{1}{z}=\dfrac{y-1}{y}+\dfrac{z-1}{z}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(y-1\right)\left(z-1\right)}{yz}}\)

Thiết lập 2 BĐT tương tự ta cũng có:

\(\dfrac{1}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(x-1\right)\left(z-1\right)}{xz}};\dfrac{1}{z}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}{xy}}\)

Nhân theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)\le\dfrac{1}{8}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{3}{2}\)

#Lề:My fb hơi trẩu :)

Answer 2

quen quen :v

Answer 3