Question

cho x,y,z>0 thoa man x+y+z =2013 tim GTNN

P=x⁴+y⁴/x³+y³ + y⁴+z⁴/y³+z³ + z⁴+x⁴/z³+x³

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((x^4+y^4)(x^2+y^2)\geq (x^3+y^3)^2\)

\((x^3+y^3)(x+y)\geq (x^2+y^2)^2\)

\(\Rightarrow (x^4+y^4)(x^2+y^2)\geq (x^3+y^3).\frac{(x^2+y^2)^2}{x+y}\)

\(\Rightarrow x^4+y^4\geq \frac{(x^3+y^3)(x^2+y^2)}{x+y}\)

\(\Rightarrow \frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\geq \frac{x^2+y^2}{x+y}\).

Tiếp tục áp dụng BĐT Bunhiacopxky: \((x^2+y^2)(1+1)\geq (x+y)^2\Rightarrow \frac{x^2+y^2}{x+y}\geq \frac{x+y}{2}\)

\(\Rightarrow \frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\geq \frac{x+y}{2}\)

Hoàn toàn TT với các phân thức còn lại và cộng theo vế:

\(\Rightarrow P\ge \frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=x+y+z=2013\)

Vậy $P_{\min}=2013$ khi $x=y=z=671$