Question

cho x,y,z>0

Cmr:

\(\frac{1}{x+3y}+\frac{1}{y+3z}+\frac{1}{z+3x}\ge\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{y+2z+x}+\frac{1}{z+2x+y}\)

Answer 1

Xét \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

<=> \(a^2+b^2\ge2ab\) (luôn đúng)

Dấu bằng xảy ra khi a=b

Áp dụng ta có

\(\frac{1}{x+3y}+\frac{1}{y+2z+x}\ge\frac{4}{2\left(x+2y+z\right)}=\frac{2}{x+2y+z}\)

\(\frac{1}{y+3z}+\frac{1}{z+2x+y}\ge\frac{2}{x+y+2z}\)

\(\frac{1}{z+3x}+\frac{1}{x+2y+z}\ge\frac{2}{2x+y+z}\)

Cộng các vế của các bđt trên

=> ĐPCM

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z