→Tìm max:
Ta có bđt sau với mọi x,y: xy ≤ (x² + y²)/2 (đẳng thức xảy ra khi x = y)
kết hợp với giả thiết: x² + y² = 4 + xy ≤ 4 + (x² + y²)/2
=> P ≤ 4 + P/2
<=> P ≤ 8
Max P = 8 xảy ra khi x = y và x² + y² - xy = 4 <=> x = y = 2 hoặc x = y = - 2 •
→ Tìm min:
P = x² + y² = 4 + xy
+ Nếu xy ≥ 0 thì P ≥ 4
+ Nếu xy < 0: không mất tính tổng quát giả sử x > 0; y < 0
để tiện cho việc cm, đặt y = - z với z > 0
Ta có: P/4 = (x² + y²)/4 = (x² + y²)/(x² + y² - xy)
= 1 + xy/(x² + y² + xy) = 1 - zx/(x² + z² + zx)
mặt khác:
x² + z² ≥ 2zx
=> x² + z² + zx ≥ 3zx
=> zx/(x² + z² + zx) ≤ 1/3 (vì zx > 0)
=> P/4 = 1 - zx/(x² + z² + zx) ≥ 1 - 1/3 = 2/3
=> P ≥ 8/3
Min P = 8/3 xảy ra khi z = x = - y; x² + y² - xy = 4 <=> x = 2/√3; y = -2/√3 hoặc x = -2/√3; y = 2/√3