Ta có: \(P=x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{3}=\frac{2006^2}{3}\)
trả lời rõ ra đc k bạn nếu đc thì thank bạn nhìu nha
Áp dụng BĐT phụ: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) và \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
Ta có: \(x^4+y^4+z^4=\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2+\left(z^2\right)^2\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{3}=\frac{2006^2}{3}\)
Dấu "=" khi \(x=y=z=\sqrt{\frac{2006}{3}}\)
\(\left(x^4+y^4+z^4\right)\left(1+1+1\right)>=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)(bđt bunhiacopxki) mà \(x^2+y^2+z^2>=xy+yz+xz\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2>=\left(xy+yz+xz\right)^2=2006^2\)
\(\Rightarrow\left(x^4+y^4+z^4\right)\left(1+1+1\right)=3\left(x^4+y^4+z^4\right)>=2006^2\Rightarrow x^4+y^4+z^4>=\frac{2006^2}{3}\)
dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{\frac{2006}{3}}\)
vậu min của P là \(\frac{2006^2}{3}\)khi \(x=y=z=\sqrt{\frac{2006}{3}}\)