Question

Cho \(x,y,z\) là ba số dương . Chứng minh rằng

     \(x^3+y^3+z^3\ge x^2y+y^2z+z^2x\)

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(x^3+x^3+y^3\ge3\sqrt[3]{x^6y^3}=3x^2y\)(1)

\(y^3+y^3+z^3\ge3\sqrt[3]{y^6z^3}=3y^2z\)(2)

\(z^3+z^3+x^3\ge3\sqrt[3]{z^6x^3}=3z^2x\)(3)

Cộng (1),(2),(3) theo vế

=> \(x^3+x^3+y^3+y^3+y^3+z^3+z^3+z^3+x^3\ge3x^2y+3y^2z+3z^2x\)

<=> \(3\left(x^3+y^3+z^3\right)\ge3\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)\)

<=> \(x^3+y^3+z^3\ge x^2y+y^2z+z^2x\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra <=> x=y=z

Answer 2

p dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương   x^3,x^3,y^3x3,x3,y3.

                  

Answer 3

Answer 4

 Áp dụng BĐT ta có x³ + x³ + y³≥ 3\(\sqrt[3]{x^{ }6y3}\)

z^{3 +} z³ + x³ ≥3 \(\sqrt[3]{z^{ }6x3}\)

y³ + y³ + z³ ≥3\(\sqrt[3]{z^{ }6y3}\) 

cộng 3 vế lại với nhau ta có

3 ( x³ + y³ + z³) ≥3 ( x²y + z²x + y²z) 

\(\Leftrightarrow\) x³ + y³ + z³ ≥( x²y + z²x +y²z)