Question

cho x,y,z khác 0 và     \(\frac{a.x+b.y+c.z}{x^2+y^2+z^2}=a^2+b^2+c^2\)    .Cmr \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)

Answer 1

Theo lời của bạn Dung, Ngọc bổ sung cho Vũ thêm cách nữa nhé :

Nếu đề tương tự như cách 1 mình làm thì ta có : 

\(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2\right)+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+c^2x^2+b^2z^2+c^2y^2=\left(a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2\right)+2\left(axby+bycz+czax\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2y^2-2aybx+b^2x^2\right)+\left(a^2z^2-2azcx+c^2x^2\right)+\left(b^2z^2-2bycz+c^2y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2+\left(az-cx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2=0\)

Mà mỗi hạng tử ở vế phải luôn không âm, do vậy :

\(\hept{\begin{cases}ay-bx=0\\az-cx=0\\bz-cy=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\\\frac{a}{x}=\frac{c}{z}\\\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\end{cases}}\) \(\Rightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)

Answer 2

khó quá trời đất ơi!

Answer 3

Hình như đề sai, phải là \(\frac{\left(ax+by+cz\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=a^2+b^2+c^2\). Nếu vậy thì giải như sau : 

Từ giả thiết ta suy ra \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\) (1)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có : \(\left(ax+by+cz\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\) (2)

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\) (3)

Từ (1) , (2) và (3) ta có đpcm.

Answer 4

a , b , c chia het cho x , y ,z

Answer 5

a,b,c chia hết cho x,y,z

Answer 6

Ngọc ơi, lần sau làm những bài như này, dùng kiến thức mà ai cũng biết ấy, chứ làm vậy có người không hiểu. Kể cả mình. Mình chưa học 1 số kiến thức Ngọc đã biết. Mình đọc bài của Ngọc là khó có thể hiểu. Đừng làm những cách ngắn nhưng không thể hiểu, giống như thể hiện như Ngọc biết làm chứ không phải giúp. Mình không cố ý nói quá. Nếu có thể hãy giải cho bạn ấy bằng cách không dùng BĐT Bunhiacopxki.

Answer 7

Trần Thùy Dung Ngọc đâu có ý đó. Cách nào đơn giản và gọn thì Ngọc làm thôi, chứ bài này có nhiều cách làm. Muốn cách phức tạp rườm rà thì được thôi, có gì phải đắn đo chứ.

Answer 8

ket qua a,b,c chia het cho x,y,z

Answer 9

mk dong y voi cach giai cua hoang le bao ngoc

Answer 10

\(\frac{\left(ax+by+cz\right)^2}{x^2+y^2+z^2}\le\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}{x^2+y^2+z^2}=a^2+b^2+c^2.....\)(Binhiakos..)

Theo bài ra Dấu = xảy ra => \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\left(dpcm\right)..\)