Question

cho x,y,z >0 và x+y+z=1 tìm GTNN của biểu thức 

 P =​1/(x^2 +y^2 +z^2 ) +1/xy +1/yz +1/xz

 

Answer 1

Với x,y,z dương và x+y+z=1,ta có

\(P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\ge\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+zx}\)

\(=\left(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx}\right)+\frac{21}{3\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{21}{\left(x+y+z\right)^2}=30\)

Dấu"=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)