Question

Cho x,y,z >0 và x+y+z =3 

Tìm gtnn của : p= x/1+y^2 +y/1+z^2 +z/1+x^2

Answer 1

đề bài như này chớ

\(\frac{x}{1+y^2}\)\(+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2}\)

\(\frac{x}{1+y^2}=x-\frac{xy^2}{1+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2y}=x-\frac{xy}{2}\)

ttu vt\(\ge x+y+z-\left(\frac{xy+yz+xz}{2}\right)=3-\frac{\left(xy+xz+yz\right)}{2}\ge3-\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

dau = xay ra khi x=y=z=1

Answer 2

Ta có :

\(\frac{x}{1}+y^2+\frac{y}{1}+z^2+\frac{z}{1}+x^2\)

\(\Rightarrow\)\(\left(\frac{x}{1}+\frac{y}{1}+\frac{z}{1}\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge3\)

\(\Rightarrow\)\(3+\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge3\)

\(\Rightarrow\)\(x^2+y^2+z^2\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=0\)

Vậy gái trị nhỏ nhất của \(P=\frac{x}{1}+y^2+\frac{y}{1}+z^2+\frac{z}{1}+x^2=0\)