\(P=\sum\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+4x^2+2xy+y^2}}\le\sum\frac{1}{\sqrt{2xy+4x^2+2xy+y^2}}=\sum\frac{1}{2x+y}\)
\(P\le\sum\frac{1}{x+x+y}\le\frac{1}{9}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}+\frac{2}{z}+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(P\le\frac{1}{3}\sqrt{2\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)
1.Cho tam giác ABC. Chứng minh:
\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\)
2. Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất :
\(P=\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
cho x,y,z> 0 thỏa mãn \(x^3+y^3+z^3=1\)
Cmr: \(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\)
1. Giải bft ( lập bảng xét dấu nếu cần )
\(\frac{x}{x+1}-2\sqrt{\frac{x+1}{x}}>3\)
2. Chứng minh: \(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{abc}\) ; với a,b,c > 0
3. Cho x,y,z > 0 thỏa mãn x+y+z = 1. Tìm GTLN của biểu thức: P = \(\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)
Cho x,y,z dương và x+y+z=1.CMR:
\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge9\)
HELP ME !
Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn \(x^3+y^3+z^3=1\). CMR:
\(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\)
Cho x,y,z > 0 CMR \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{36}{9+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}\)
giải hệ phương trình
a) \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x^2+2y^2}+\sqrt{\frac{4}{3}\left(x^2+xy+y^2\right)}=2\left(x+y\right)\\\sqrt{3x+1}+\sqrt{5x+4}=3xy-y+3\end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}=3\left(x+y\right)\\\sqrt{x+2y+1}+2\sqrt[3]{12x+7y+8}=2xy+x+5\end{matrix}\right.\)
c)\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+x+3=0\\\left(x+1\right)^2+3\left(y+1\right)+2\left(xy-\sqrt{x^2y+2y}\right)=0\end{matrix}\right.\)
1:Cho x;y>0:\(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=6\).Tìm min P=x+y
2:Cho x;y;z>0:x+y+z\(\le\)1.Chứng minh\(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{82}\)
3:cho a;b;c;d>0.Chứng minh\(\frac{a^2}{b^5}+\frac{b^2}{c^5}+\frac{c^2}{d^5}+\frac{d^2}{a^5}\ge\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}\)
4:Tìm max,min y=x+\(\sqrt{4-x^2}\)
5:Cho \(a\ge1;b\ge1\).Chứng minh \(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\)
6:Chứng minh:\(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3\text{a}bc\left(a+b+c\right)\)
Các bạn giúp mình với
Câu 1: Cho a, b, c >0 và \(a\le b+c\) Tìm giá trị nhỏ nhất của
\(p=\frac{c}{\left(a+b\right)}+\left(b+c\right)\left(\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{a+c}\right)\)
Câu 2: Cho x, y, z >0 Tìm giá trị nhỏ nhất
\(p=\frac{1}{3}\left(\frac{xy}{z^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{yz}{x^2}\right)\left[\frac{xyz\left(x+y+z\right)}{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}\right]^2\)
Câu 3: Cho \(x,y,z\in R\) và \(x^2+y^2+z^2=1\) Tìm giá trị lớn nhất của
\(P=\frac{x^2y^2}{1-xy}+\frac{z^2y^2}{1-zy}+\frac{x^2z^2}{1-xz}\)