Question

Cho \(x,y\ge1.CMR:\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)

Answer 1

Cái này biến đổi tương đương nhé, t có mỗi cách đó !

ta có BĐT cần chứng minh 

\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)+\left(1+xy\right)\left(1+y^2\right)\ge2\left(1+y^2\right)\left(1+x^2\right)\)

\(\Leftrightarrow1+x^2+xy+x^3y+1+y^2+xy+y^3\ge2\left(1+x^2+y^2+x^2y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2xy+x^3y+xy^3-x^2-y^2-2x^2y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow xy\left(x-y\right)^2-\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)

bđt này luôn đúng với \(x,y\ge1\)

dấu = xảy ra <=> x=y >=1

^_^

Answer 2

chọn của vũ tiền châu nhé

nhớ đêý

cảm ơn 

t i c k nhé