ta có: \(x+y\ge\frac{1}{5}\) (*)
<=>\(x+y\ge\frac{\left(2\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}{5}\)(vì \(2\sqrt{x}-\sqrt{y}=1\) )
<=>\(5x+5y\ge4x-4\sqrt{xy}+y\)
<=>\(x+4\sqrt{xy}+4y\ge0\)
<=>\(\left(\sqrt{x}+2\sqrt{y}\right)^2\ge0\) luôn đúng
=>(*) luôn đúng => đpcm
Bài 1: Cho a>0;b>0;c>0 thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
a)\(a^3+b^3+c^3\ge a+b+c\)
b) \(a^3+b^3+c^3\ge a^2+b^2+c^2\)
Bài 2: Với mọi a,b,c là các số thực. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge a +b+c\)
Bài 3: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn \(x+y+z\le1\)
Chứng minh rằng: \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{82}\)
Cho x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=3.Chứng minh rằng:
\(\frac{x^2}{\sqrt{5x^2+2xy+y^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{5y^2+2yz+z^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{5z^2+2zx+x^2}}\ge\frac{3}{2\sqrt{2}}\)
Cho x,y>0 thỏa mãn \(\sqrt{xy}\left(x-y\right)=x+y\) . chứng minh x+y\(\ge\)4
cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 3.
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{\sqrt{xy+x+y}}+\frac{1}{\sqrt{yz+y+z}}+\frac{1}{\sqrt{zx+z+x}}\ge\)\(\sqrt{3}\)
Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\), Chứng minh rằng:
\(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+zx=1
Chứng minh rằng
\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\ge\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)^3\)
cho x, y ,z dương thỏa mãn: \(x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}=\frac{4}{3}\). chứng minh: x+y+z\(\ge\)1
Câu 1 : Tìm x,y,z thỏa mãn :
\(\sqrt{x-2}+\sqrt{y+1999}+\sqrt{z-2000}=\frac{1}{2}\left(x +y+z\right)\)
Câu 2: Cho : \(a\ge2;ab\ge\frac{3}{2}\).Chứng minh : \(a+b\ge\frac{11}{4}\)
Giải nhanh giúp mk nhé ♥
Cho x, y, z >0 thỏa x + y + z >= 3. Chứng minh rằng : \(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\)