\(P=x^2y^2\left(x^2+y^2\right)=\frac{1}{2}xy.2xy\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}.\frac{\left(x+y\right)^2}{4}.\frac{1}{4}\left(2xy+x^2+y^2\right)^2=\frac{1}{32}\left(x+y\right)^6=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
Cho x, y > 0 và 2x > y. Chứng minh rằng : \(\left(\dfrac{1}{x}+2\right)^2.\left(\dfrac{2}{y}-\dfrac{1}{x}\right).\dfrac{2y-1}{y}\le\dfrac{81}{8}\)
a) cho x,y > 0 thoả mãn x+y=2 chứng minh 0< xy < 1 b) tìm GTLN của A = \(x^2y^2\left(x^2+y^2\right)\)
Cho \(\left(x+\sqrt{x^2+2013}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013\) Chứng minh : \(x^{2013}+y^{2013}=0\)
Cho \(\left(x+\sqrt{x^2+2013}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013\) Chứng minh : \(x^{2013}+y^{2013=0}\)
Cho x, y, z > 0 và xy + yz + zx = a.
Chứng minh: \(x\sqrt{\frac{\left(a+y^2\right)\left(a+z^2\right)}{a+x^2}}+y\sqrt{\frac{\left(a+z^2\right)\left(a+x^2\right)}{a+y^2}}+z\sqrt{\frac{\left(a+x^2\right)\left(a+y^2\right)}{a+z^2}}=2a\)
Cho x,y>0. chứng minh: \(\left|\frac{x+y }{2}-\sqrt{xy}\right|+\left|\frac{x+y}{2}+\sqrt{xy}\right|=\left|x\right|+ \left|y\right|\)
Hỏi đẳng thức còn đúng không nếu x,y<0.
Giải các hệ phương trình sau:
a) \(\left\{{}\begin{matrix}4x^2-4xy-14x-3y^2+y+10=0\\5\sqrt{xy}+2x+2y=6\sqrt{y}-8\end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}2x^4+3x^2y+4x^2-2y^2+3y+2=0\\\sqrt{x\left(y-1\right)}+2y+2\sqrt{y-1}=3x+2\sqrt{x}+2\end{matrix}\right.\)
c) \(\left\{{}\begin{matrix}x^6+3x^2-y^3-6y^2-15y-14=0\\\sqrt{xy+2x-y-2}+6x-2y=10\end{matrix}\right.\)
d) \(\left\{{}\begin{matrix}xy+x+y=x^2-2y^2\\x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2x-2y\end{matrix}\right.\)
Giả thiết x, y, z > 0 và xy + y2 + zx = a. Chứng minh rằng :
\(x\sqrt{\dfrac{\left(a+y^2\right)\left(a+z^2\right)}{a+x^2}}+y\sqrt{\dfrac{\left(a+z^2\right)\left(a+x^2\right)}{a+y^2}}+z\sqrt{\dfrac{\left(a+x^2\right)\left(a+y^2\right)}{a+z^2}}=2a\)
Cho x,y,z>0 thỏa mãn xyz=1. Tìm min \(P=\dfrac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\dfrac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\dfrac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)