GB

Cho x+y=1 Tim GTNN cua A= x^3+y^3+xy

BH
19 tháng 7 2017 lúc 16:13

Ta có: A=x3+y3+xy = (x+y)(x2-xy+y2)+xy

=> A=(x+y)(x2+2xy+y2-3xy)+xy

<=> A=(x+y)[(x+y)2-3xy]+xy=1.(12-3xy)+xy

=> A=1-2xy

Lại có:\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

=> \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)=> \(xy\le\frac{1}{4}\)

=> A=1-2xy\(\ge1-\frac{2.1}{4}\)

=> \(A\ge\frac{1}{2}\)

=> GTNN của A là 1/2

Bình luận (0)
H24
19 tháng 7 2017 lúc 16:28

\(A=x^3+y^3+y^3+xy=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+xy=x^2-xy+y^2+xy=x^2+y^2\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : 

\(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x.1+y.1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow A=x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)

Dấu ''='' xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy AMin = \(\frac{1}{2}\) tại \(x=y=\frac{1}{2}\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
LH
Xem chi tiết
CD
Xem chi tiết
LT
Xem chi tiết
BH
Xem chi tiết
TH
Xem chi tiết
DN
Xem chi tiết
DN
Xem chi tiết
DD
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết