Áp dụng bất đẳng thức Cô - si vào 2 số dương \(x^2,\frac{1}{x^2}\)ta có:
\(x^2+\frac{1}{x^2}\ge2\sqrt{x^2.\frac{1}{x^2}}=2\)\(\left(1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si vào hai số dương \(y^2,\frac{1}{y^2}\)ta có :
\(y^2+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{y^2.\frac{1}{y^2}}=2\)\(\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge4\)
\(\Rightarrow\)\(A_{min}=4\Leftrightarrow x=y=1\)
bạn ơi x+y<=1 mà bạn tìm ra x+y=2 rồi
Có lẽ là thế này ạ,sai đừng trách em (em mới lớp 7 thôi)
Ta dự đoán xảy ra cực trị tại x = y = 1/2.Ta biến đổi như sau:
\(A=\left(x^2+\frac{1}{4}\right)+\left(y^2+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{x^2}+4\right)+\left(\frac{1}{y^2}+4\right)-\frac{17}{2}\)
Áp dụng BĐT Cô si (AM- GM) cho các biểu thức trong ngoặc,ta được:
\(A\ge2\sqrt{\frac{x^2.1}{4}}+2\sqrt{\frac{y^2.1}{4}}+2\sqrt{\frac{1}{x^2}.4}+2\sqrt{\frac{1}{y^2}.4}-\frac{17}{2}\)
\(=\left(x+y\right)+2\left(\frac{2}{x}+\frac{2}{y}\right)-\frac{17}{2}\)
\(=\left(x+y\right)+4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)-\frac{17}{2}\ge16\left(x+y\right)+\frac{16}{x+y}-15\left(x+y\right)-\frac{17}{2}\)
\(\ge2\sqrt{16\left(x+y\right).\frac{16}{x+y}}-15.1-\frac{17}{2}\)
\(=2.16-\frac{47}{2}=32-\frac{47}{2}=\frac{17}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy...
Từ sau chỗ \(=\left(x+y\right)+2\left(\frac{2}{x}+\frac{2}{y}\right)-\frac{17}{2}\) có cách nhanh hơn ạ!Làm rồi giờ mới nhìn ra:
\(\ge1+4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)-\frac{17}{2}=4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)-\frac{15}{2}\)
\(\ge\frac{16}{x+y}-\frac{15}{2}\ge16-\frac{15}{2}=\frac{17}{2}\)
Vậy...
Cái bài ban đầu đúng rồi ạ,làm ơn bỏ giúp e cái bài"từ sau chỗ..." ạ. Bài đó em ngược dấu r mak giờ mới để ý.Em cảm ơn ạ.