Question

cho x;y thỏa mãn  x²+2xy+6x+6y+2y²+8=0

tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của x+y+2017

Answer 1

Giải:

Đặt \(A=x+y+2017\) Ta có: \(x^2+2xy+6x+6y+2y^2+8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+6\left(x+y\right)+y^2=-8\)

Mà \(y^2\ge0\Rightarrow\left(x+y\right)^2+6\left(x+y\right)\le-8\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+6\left(x+y\right)+9\le1\) \(\Leftrightarrow\left(x+y+3\right)^2\le1\)

\(\Rightarrow\left|x+y+3\right|\le1\Rightarrow-1\le x+y+3\le1\)

\(\Leftrightarrow2013\le A\le2015\) Dấu "=" xảy ra:

\(A_{MIN}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+2017=2013\\y=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-4\\y=0\end{cases}}\)

\(A_{MAX}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+2017=2015\\y=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-2\\y=0\end{cases}}\)