Question

cho x;y là hai số thực dương thỏa mãn: x+y=1

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A=2x^2-y^2+x+\frac{1}{x}+1\)

Answer 1

x + y = 1 => y = 1 - x mà x,y dương => 0 < x < 1

Suy ra : \(A=2x^2-\left(1-x\right)^2+x+\frac{1}{x}+1=2x^2-1+2x-x^2+x+\frac{1}{x}+1\)

\(=x^2+3x+\frac{1}{x}=x^2-x+\frac{1}{4}+4x+\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\)

\(=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+4x+\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\)

Mà \(4x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{4x.\frac{1}{x}}=2.2=4\). Dấu "=" xảy ra <=> 4x = 1/x <=> x = 1/2

Với x = 1/2 thì ( x - 1/2 )² cũng đạt GTNN là 0 => y = 1 - a = 1/2

Vậy min\(A=4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}\)<=> x = y = 1/2

Answer 2

Cách giải như sau

x + y = 1 => y = 1 - x mà x,y dương => 0 < x < 1

Suy ra : A=2x2−(1−x)2+x+1x +1=2x2−1+2x−x2+x+1x +1

=x2+3x+1x =x2−x+14 +4x+1x +14 

=(x−12 )2+4x+1x +14 

Mà 4x+1x ≥2√4x.1x =2.2=4. Dấu "=" xảy ra <=> 4x = 1/x <=> x = 1/2

Với x = 1/2 thì ( x - 1/2 )² cũng đạt GTNN là 0 => y = 1 - a = 1/2

Vậy minA=4+14 =174 <=> x = y = 1/2

          HOK TỐT