Question

Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn x + y = 1. Tìm max  của  \(F=\frac{x}{1+x^2}+\frac{y}{1+y^2}\)

Answer 1

\(F=\frac{x^2}{x+x^3}+\frac{y^2}{y+y^3}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy+1\right)}=\frac{1}{1+\left(x+y\right)^2-3xy}=\frac{1}{2-3xy}\)\(\ge\frac{1}{2-\frac{3}{4}}=\frac{4}{5}\)

Dấu bằng xảy ra khi x=y=\(\frac{1}{2}\)