Question

Cho x,y  là 2 số nguyên thỏa mãn :

x+ 2019x² = 2020y² + y  ; chứng minh rằng : x-y  là số chính phương 

Answer 1

Đặt x - y = t

\(x=y+t\)

\(x^2=\left(y+t\right)^2=\left(y+t\right)\left(y+t\right)=y^2+2yt+t^2\)

Thay vào ta có :

\(y+t+2019 \left(y^2+2yt+t^2\right)=2020y^2+y\)

\(t+4038yt+2019t^2=y^2\)

\(t+2019.2020t^2=\left(y-2019t\right)^2\)

\(t\left(1+2019.2020t\right)=\left(y-2019t\right)^2\)

\(\Rightarrow\)t là số chính phương do t và 1 + 2019.2020t là hai số nguyên tố cùng nhau.