Với x,y dương thỏa mãn x+y=1,áp dụng BĐT AM-GM có:
1=x+y\(\ge\)\(2\sqrt{xy}\)
=>xy\(\le\)1/4,(*)
Ta Có:
A=\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-2xy}+\frac{1}{xy}\)
Theo (*)=>\(1-2xy\le\frac{1}{2}\ge\frac{1}{1-2xy}\ge2\)
và \(\frac{1}{xy}\ge4\)
=> A\(\ge\)2+4=6
Dấu "=" xảy ra <=>x=y=\(\frac{1}{2}\)
vậy Amin=6 khi x=y=\(\frac{1}{2}\)
Với x,y dương thỏa mãn x+y=1,áp dụng BĐT AM-GM có:
1=x+y\(\ge\)\(2\sqrt{xy}\)
=>xy\(\le\)1/4,(*)
Ta Có:
A=\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-2xy}+\frac{1}{xy}\)
Theo (*)=>\(1-2xy\le\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{1-2xy}\ge2\)
và \(\frac{1}{xy}\ge4\)
=> A\(\ge\)2+4=6
Dấu "=" xảy ra <=>x=y=\(\frac{1}{2}\)
vậy Amin=6 khi x=y=\(\frac{1}{2}\)
vậy ms đúng
bài này bạn có thể tách 1/xy thành 1/2xy+1/ 2xy. sau đó có 1/x^2+y^2 + 1/2xy >= 1/(x+y)^2 . rồi còn 1/2xy thì áp dụng cosi o mau la ra
\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)với a,b >0 (có thể chứng minh bằng phương pháp biến đổi tương đương)
được \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}=4\) Dấu "=" xảy ra khi x=y=1/2
Mặt khác : Ta có \(\left(x-y\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow\frac{1}{2xy}\ge\frac{2}{\left(x+y\right)^2}=2\)(Dấu"=" xảy ra khi x=y=1/2)
Vậy : Min A = 6 <=> x=y=1/2