Question

Cho x>0;y>0;x+y=2012

Tìm GTNN của biểu thức B=                       2x²+8xy+2y²​

X²+2xy+y²

 

Answer 1

Ta có:

Với  \(a,b\ge0\)  thì  \(a^2+b^2\ge2ab\)  nên \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)  (bất đẳng thức Cô-si)

Dấu  \(''=''\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(a=b\)

Áp dụng bất đẳng thức trên, ta được:

\(B=\frac{2x^2+8xy+2y^2}{x^2+2xy+y^2}=\frac{2\left(x^2+y^2\right)+8xy}{\left(x+y\right)^2}\ge\frac{2.2xy+8xy}{4xy}=\frac{12xy}{4xy}=3\)  (do  \(x,y>0\))

Dấu  \(''=''\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(x=y=1006\)

Vậy,  \(B_{min}=3\)   khi   \(x=y=1006\)